本书的基本目标是在初等概率论的基础上，扩展和加强读者面向应用的随机数学基础。一方面希望能加深读者对概率知识的理解，增强对实际问题的数学建模能力，特别是对随机现象的概率描述和求解；另一方面使读者初步了解各种随机过程的性质，为后续课程的学习建立扎实的数理基础。
本书属随机数学的基础读物，介绍了常见的几种随机过程的基本性质，适合具有微积分和初等概率论知识的读者学习和参考。本书的主要内容包括6个部分：泊松过程、更新过程、马尔可夫过程、鞅过程、布朗运动、随机微积分和伊藤公式。
本书可作为高等院校统计、经济、金融、管理专业的本科生教材，也可作为其他相关专业的研究生教材和教学参考书，对广大从事与随机现象相关工作的实际工作者也极具参考价值。
- 前辅文
- 第一章 预备知识
- §1.1 样本空间、随机变量与分布函数
- 1.1.1 样本空间、随机事件与概率
- 1.1.2 随机变量、分布函数
- 1.1.3 强度函数
- §1.2 数学期望、矩母函数
- §1.3 条件期望与条件方差
- 1.3.1 条件期望
- 1.3.2 全期望公式
- 1.3.3 条件方差公式
- 1.3.4 两个特殊形式的全概率公式
- 1.3.5 尾部条件期望与限额期望值
- 1.3.6 条件期望的一般性质
- §1.4 极限定理
- 1.4.1 马尔可夫不等式和切比雪夫不等式
- 1.4.2 大数定律与中心极限定理
- 1.4.3 更一般的极限定理
- 第一章小结
- 习题
- 第二章 随机过程的基本概念和基本类型
- §2.1 随机过程的基本概念
- 2.1.1 基本概念
- 2.1.2 有限维分布和数字特征
- §2.2 随机过程的基本类型
- 第二章小结
- 习题
- 第三章 泊松过程
- §3.1 泊松过程的定义
- §3.2 与泊松过程相联系的若干分布
- 3.2.1 Xn和Tn的分布
- 3.2.2 事件发生时刻的条件分布
- §3.3 泊松过程的推广
- 3.3.1 非齐次泊松过程
- 3.3.2 复合泊松过程
- 3.3.3 条件泊松过程
- 第三章小结
- 习题
- 第四章 更新过程
- §4.1 更新过程的定义和性质
- §4.2 更新推理、更新方程和关键更新定理
- 4.2.1 更新推理和更新方程
- 4.2.2 关键更新定理及其应用
- §4.3 更新回报定理
- 第四章小结
- 习题
- 第五章 马尔可夫链
- §5.1 基本概念
- 5.1.1 马尔可夫链的定义
- 5.1.2 n步转移概率和C-K方程
- §5.2 状态的分类及性质
- §5.3 转移概率的极限与不变分布
- 5.3.1 转移概率的极限
- 5.3.2 不变分布与极限分布
- 5.3.3 不变分布与极限分布的应用例子
- §5.4 三个应用模型
- 5.4.1 赌徒输光问题
- 5.4.2 群体消失模型
- 5.4.3 人口结构变化的马尔可夫链模型
- §5.5 隐马尔可夫链模型
- §5.6 连续时间马尔可夫链
- 5.6.1 连续时间马尔可夫链
- 5.6.2 转移概率pij(t)和科尔莫戈罗夫微分方程
- 第五章小结
- 习题
- 第六章 鞅
- §6.1 基本概念
- §6.2 停时定理
- §6.3 停时定理的应用
- 第六章小结
- 习题
- 第七章 布朗运动
- §7.1 布朗运动的定义
- §7.2 首次到达时刻的分布和应用
- §7.3 布朗运动的几种变化
- 7.3.1 布朗桥
- 7.3.2 有吸收值的布朗运动
- 7.3.3 在原点反射的布朗运动
- 7.3.4 几何布朗运动
- §7.4 高斯过程
- 第七章小结
- 习题
- 第八章 随机微积分和伊藤公式
- §8.1 非随机连续函数对布朗运动的积分
- §8.2 伊藤公式
- 8.2.1 二次变差定理
- 8.2.2 伊藤积分
- 8.2.3 伊藤公式
- 第八章小结
- 习题
- 附录 常用分布函数表
- 部分习题答案
- 参考文献
- 名词索引
