现代常微分方程教程

本书主要内容包括：基本概念和基本空间、初值问题解的存在唯一性、一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程、线性微分方程组、边值问题和稳定性理论初步，共7章。本书引进常微分方程“弱解”的概念，以方便用现代偏微分方程理念讲解常微分方程解的适定性理论；考虑到目前部分高校将常微分方程课程安排在泛函分析课程之前，本书在第一章还介绍了距离空间和赋范线性空间的相关内容。另外，我们对数学建模方面的内容作了特别的编排，而且在第二章设置了在研究流体力学方程中遇到的常微分方程解的存在性证明的例子。

本书可以作为综合性大学或师范类院校数学与应用数学专业本科生常微分方程课程的教材或教学参考书，也可供广大工程技术人员及科学研究人员自学和参考。

目录
- 前辅文
- 第1章基本概念与基本空间
  - §1.1 引例
  - 习题1.1
  - §1.2 基本概念
    - 1.2.1 常微分方程和偏微分方程
    - 1.2.2 线性微分方程和非线性微分方程
    - 1.2.3 解、隐式解、通解
  - 习题1.2
  - §1.3 积分曲线和方向场
  - 习题1.3
  - §1.4 定解问题
    - 1.4.1 初值问题的定义
    - 1.4.2 边值问题的定义
  - 习题1.4
  - §1.5 距离空间及其完备性
    - 1.5.1 距离空间
    - 1.5.2 连续函数空间
  - 习题1.5
  - §1.6 距离空间中的不动点定理
  - 习题1.6
  - §1.7 赋范线性空间
    - 1.7.1 基本概念
    - 1.7.2 有限维赋范线性空间的刻画$^*$
  - 习题1.7
- 第2章初值问题解的存在唯一性
  - §2.1 Picard存在唯一性定理
    - 2.1.1 显式方程解的存在唯一性
    - 2.1.2 隐式方程解的存在唯一性
  - 习题2.1
  - §2.2 数值解
    - 2.2.1 Euler方法
    - 2.2.2 Runge-Kutta方法$^*$
  - 习题2.2
  - §2.3 Peano存在定理$^*$
  - 习题2.3
  - §2.4 解的延拓与解的整体存在性
    - 2.4.1 解的延拓
    - 2.4.2 解的整体存在性
  - 习题2.4
  - §2.5 比较定理及其应用
  - 习题2.5
  - §2.6 解对初值的连续依赖
  - 习题2.6
  - §2.7 解对初值的可微性
  - 习题2.7
  - §2.8 不动点定理与解的存在性
  - 习题2.8
  - §2.9 弱解的定义及存在性定理
  - 习题2.9
  - §2.10 弱解的唯一性和Gronwall不等式
  - 习题2.10
  - §2.11 不动点定理的应用
  - 习题2.11
- 第3章一阶微分方程的初等解法
  - §3.1 分离变量法
  - 习题3.1
  - §3.2 变量替换法
    - 3.2.1 一阶齐次方程
    - 3.2.2 可化为一阶齐次方程的方程
  - 习题3.2
  - §3.3 积分因子法
    - 3.3.1 恰当方程
    - 3.3.2 积分因子
  - 习题3.3
  - §3.4 常数变易法
    - 3.4.1 一阶线性微分方程
    - 3.4.2 几类特殊方程
  - 习题3.4
  - §3.5 隐式方程的特殊解法
    - 3.5.1 微分法
    - 3.5.2 参数法
    - 3.5.3 奇解
    - 3.5.4 包络
  - 习题3.5
- 第4章高阶微分方程
  - §4.1 $n$维线性空间中的微分方程
  - 习题4.1
  - §4.2 线性微分方程解的一般理论
    - 4.2.1 齐次线性方程的解的性质与结构
    - 4.2.2 非齐次线性方程与常数变易法
  - 习题4.2
  - §4.3 高阶常系数线性微分方程的解法
    - 4.3.1 高阶常系数齐次线性微分方程
    - 4.3.2 高阶常系数非齐次线性微分方程
  - 习题4.3
  - §4.4 高阶方程的降阶和幂级数解法
    - 4.4.1 可降阶的方程类型
    - 4.4.2 二阶线性方程的幂级数解法
  - 习题4.4
  - §4.5 数学建模实例
  - 习题4.5
- 第5章线性微分方程组
  - §5.1 一般理论
    - 5.1.1 齐次线性微分方程组
    - 5.1.2 非齐次线性微分方程组
  - 习题5.1
  - §5.2 常系数线性微分方程组
    - 5.2.1 矩阵指数函数的定义和性质
    - 5.2.2 常系数齐次线性微分方程组的基本解矩阵
    - 5.2.3 利用Jordan标准形求基本解矩阵
    - 5.2.4 待定指数函数法
  - 习题5.2
- 第6章边值问题
  - §6.1 Sturm比较定理
  - 习题6.1
  - §6.2 Sturm-Liouville边值问题的特征值
  - 习题6.2
  - §6.3 特征函数系的正交性
  - 习题6.3
  - §6.4 一个非线性边值问题的例子
  - 习题6.4
  - §6.5 周期边值问题
  - 习题6.5
- 第7章稳定性理论初步
  - §7.1 Lyapunov~稳定性
    - 7.1.1 稳定性的概念
    - 7.1.2 线性系统的稳定性
  - 习题7.1
  - §7.2 Lyapunov直接方法
    - 7.2.1 mathscrV函数
    - 7.2.2 Lyapunov稳定性的基本定理
  - 习题7.2
- 附录 Laplace变换法
- 参考文献
- 索引

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