本书是作者在北京大学数学学院多年教学实践的基础上编写而成的，第一版于1991 年出版。作者在第二版准备的过程中，在力求保持原有风格、特色的同时，对部分内容作了适当调整和精简，在叙述上也作了很多改进。全书仍为十一章，各章内容为：基本概念；初等积分法；存在和唯一性定理；奇解；高阶微分方程；线性微分方程组；幂级数解法；定性理论与分支理论初步；边值问题；首次积分；一阶偏微分方程。
本书可作为数学专业常微分方程课的教材，也可供有关专业人员参考。
- 前辅文
- 第一章 基本概念
- 1.1 微分方程及其解的定义
- 1.2 微分方程及其解的几何解释
- 第二章 初等积分法
- 2.1 恰当方程
- 2.2 变量分离的方程
- 2.3 一阶线性方程
- 2.4 初等变换法
- 2.4.1 齐次方程
- 2.4.2 伯努利方程
- 2.4.3 里卡蒂方程
- 2.5 积分因子法
- 2.6 应用举例
- 第三章 存在和唯一性定理
- 3.1 皮卡存在和唯一性定理
- 3.2 佩亚诺存在定理
- 3.2.1 欧拉折线
- 3.2.2 Ascoli 引理
- 3.2.3 佩亚诺存在定理
- 3.3 解的延伸
- 3.4 比较定理及其应用
- 第四章 奇解
- 4.1 一阶隐式微分方程
- 4.2 奇解
- 4.3 包络
- 4.4 奇解的存在定理
- 第五章 高阶微分方程
- 5.1 几个例子
- 5.2 n 维线性空间中的微分方程
- 5.3 解对初值和参数的连续依赖性
- 5.4 解对初值和参数的连续可微性
- 第六章 线性微分方程组
- 6.1 一般理论
- 6.1.1 齐次线性微分方程组
- 6.1.2 非齐次线性微分方程组
- 6.2 常系数线性微分方程组
- 6.2.1 矩阵指数函数的定义和性质
- 6.2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
- 6.2.3 利用若尔当标准型求基解矩阵
- 6.2.4 待定指数函数法
- 6.3 高阶线性微分方程式
- 6.3.1 高阶线性微分方程的一般理论
- 6.3.2 常系数高阶线性微分方程
- 第七章 幂级数解法
- 7.1 柯西定理
- 7.2 幂级数解法
- 7.3 勒让德多项式
- 7.4 广义幂级数解法
- 7.5 贝塞尔函数
- 第八章 定性理论与分支理论初步
- 8.1 动力系统, 相空间与轨线
- 8.2 解的稳定性
- 8.2.1 李雅普诺夫稳定性的概念
- 8.2.2 按线性近似判断稳定性
- 8.2.3 李雅普诺夫第二方法
- 8.3 平面上的动力系统, 奇点与极限环
- 8.3.1 初等奇点
- 8.3.2 极限环
- 8.3.3 Liénard 作图法
- 8.3.4 Poincaré 映射与后继函数法
- 8.4 结构稳定与分支现象
- 8.4.1 一个大范围的结构稳定性定理
- 8.4.2 高阶奇点的分支
- 8.4.3 Hopf 分支
- 8.4.4 Poincaré 分支
- 8.4.5 多重闭轨的分支
- 8.4.6 同宿轨线的分支
- 8.4.7 奇异向量场的普适开折
- 第九章 边值问题
- 9.1 施图姆比较定理
- 9.2 S–L 边值问题的特征值
- 9.3 特征函数系的正交性
- 9.4 一个非线性边值问题的例子
- 9.5 周期边值问题
- 第十章 首次积分
- 10.1 首次积分的定义
- 10.2 首次积分的性质
- 10.3 首次积分的存在性
- 10.4 大范围的首次积分
- 第十一章 一阶偏微分方程
- 11.1 一阶齐次线性偏微分方程
- 11.2 一阶拟线性偏微分方程
- 11.3 几何解释
- 参考文献
- 习题答案与提示
