本书介绍非线性泛函分析的基本内容和基本方法。内容包括Banach空间微分学、隐函数定理、分歧定理、半序方法和上下解、Brouwer度、Leray-Schauder度、锥映射的拓扑度、重合度、不动点定理、极值原理、Ekeland变分原理、形变引理、极小极大原理、环绕和指标等。本书简明扼要，深入浅出，选编了一定数量的习题，既重视理论，又联系应用。
本书可作为高等学校数学及其相关专业研究生的教材以及本科高年级学生的选修课教材，也可供从事非线性问题研究的研究人员参考。
- 前辅文
- 第一章 Banach 空间上的非线性算子
- §1.1 Banach 空间及线性算子
- §1.1.1 Banach 空间和Hilbert 空间
- §1.1.2 Banach 空间的例子
- §1.1.3 有界线性算子
- §1.1.4 共轭空间
- §1.1.5 线性算子的谱
- §1.1.6 紧算子和Riesz-Schauder 理论
- §1.1.7 Poincare 不等式和Sobolev 嵌入定理
- §1.2 抽象函数的微积分
- §1.2.1 抽象函数的积分
- §1.2.2 抽象函数的微分
- §1.3 Frechet 可微性
- §1.4 Gateaux 微分
- §1.5 几个例子
- §1.5.1 Nemytskii 算子的连续性
- §1.5.2 Nemytskii 算子的可微性
- §1.5.3 一个变分泛函
- §1.6 高阶导数与Taylor 公式
- §1.7 隐函数定理
- §1.7.1 隐函数定理
- §1.7.2 常微分方程解的存在性
- §1.8 全局隐函数定理
- §1.8.1 全局隐函数定理
- §1.8.2 常微分方程的边值问题
- §1.9 分歧问题
- §1.9.1 Lyapunov-Schmidt 过程
- §1.9.2 分歧定理
- §1.9.3 Hopf 分歧定理
- §1.10 半序Banach 空间
- §1.10.1 锥与半序
- §1.10.2 正泛函与共轭锥
- §1.11 上下解方法
- §1.12 混合单调算子
- 习题
- 第二章 拓扑度理论
- §2.1 Brouwer 度的定义
- §2.1.1 Sard 定理
- §2.1.2 $C^2映射的Brouwer 度
- §2.1.3 Brouwer 度的定义
- §2.2 Brouwer 度的性质
- §2.2.1 Brouwer 度的基本性质
- §2.2.2 Brouwer 度的性质
- §2.2.3 简化定理与乘积公式
- §2.2.4 度理论的公理化
- §2.2.5 注记
- §2.3 Brouwer 不动点定理与Borsuk 定理
- §2.4 Leray-Schauder 度
- §2.4.1 紧连续映射及其性质
- §2.4.2 全连续场与紧同伦
- §2.4.3 Leray-Schauder 度的定义
- §2.4.4 Leray-Schauder 度的性质
- §2.4.5 孤立零点的指数
- §2.5 不动点定理
- §2.5.1 Leray-Schauder 不动点定理
- §2.5.2 范数形式的拉伸与压缩不动点定理
- §2.5.3 Borsuk 定理
- §2.6 锥映射的拓扑度
- §2.7 重合度介绍
- §2.8 严格集压缩场和凝聚场的拓扑度
- §2.8.1 非紧性测度
- §2.8.2 严格集压缩场和凝聚场的拓扑度
- §2.9 全局分歧定理
- 习题
- 第三章 变分方法
- §3.1 极值原理
- §3.1.1 极值的必要条件
- §3.1.2 Euler-Lagrange 方程
- §3.1.3 极值存在的条件
- §3.1.4 条件极值
- §3.1.5 Ekeland 变分原理
- §3.1.6 Nehari 技巧
- §3.2 极小极大原理
- §3.2.1 伪梯度向量场与形变引理
- §3.2.2 极小极大原理
- §3.3 mathbbZ2指标和畴数
- §3.3.1 mathbbZ2指标
- §3.3.2 mathbbZ2伪指标
- §3.3.3 畴数
- 习题
- 参考文献
