本书第一版是教育部“高等师范教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”立项的研究成果，经教育部专家组评审，作为“面向21世纪课程教材”。该教材通过改革和创新，用集合（通过引入各种结构）和映射将传统的“实变函数论”、“测度论”和“泛函分析”三门课程融合为一门新的“现代分析”基础教程，使之保持了适当的理论深度和较高的学术水平，使读者用较少的时间就能掌握现代分析中最有用的核心内容和方法技巧；同时，本书起点低，只要求读者具有初等微积分和高等代数的初步知识，使不同专业和不同层次的教学有较大的选择空间，因而本书有广泛的读者面，可作为大学数学专业本科生和硕士研究生的教材或教学参考书，也可供广大科技人员参考。
本书第二版对第一版作了全面细致的修订，对传统题材作了现代化的处理，还补充了新的研究成果，原来的第九章改为“专题研究导读”，这些专题都是当前热门的研究前沿。
- 目录
- 前辅文
- 引言 本课程的学习内容和学习方法
- 第一章 预备知识
- §1 集合的运算
- §2 集合间的映射
- §3 集合的基数
- 第二章 点集的拓扑概念
- §1 距离空间中的拓扑概念, 稠密性与可分性
- §2 连续性, 半连续性, 拓扑空间
- §3 Rn中开集、闭集的构造, Cantor集
- §4 覆盖(一): 有限覆盖与可数覆盖
- 第三章 测度论
- §1 Rn中的Lebesgue外测度
- §2 Rn中的Lebesgue测度
- §3 抽象外测度与测度
- 第四章 可测函数
- §1 可测函数的定义及其基本性质
- §2 可测函数列的收敛性
- §3 可测函数的结构(Luzin定理)
- 第五章 积分论
- §1 Lebesgue积分的定义
- §2 (L)积分的初等性质
- §3 (L)积分列的极限定理
- §4 (L)积分与(R)积分的关系
- §5 Fubini定理与广义测度
- §6 积分概念的推广
- 第六章 微分论
- §1 覆盖(二)与极大函数
- §2 Lebesgue微分定理
- §3 单调函数
- §4 有界变差函数和绝对连续函数
- §5 不定积分
- 第七章 抽象空间论
- §1 距离空间续论, 完备性, 列紧性
- §2 赋范线性空间, Banach空间
- §3 内积空间, Hilbert空间
- §4 常用的函数空间与序列空间, Sobolev空间
- §5 内积空间中的Fourier分析
- 第八章 抽象空间之间的映射
- §1 有界线性算子与有界线性泛函
- §2 算子空间与共轭空间
- §3 有界线性泛函的表示
- §4 共鸣定理
- §5 开映射定理
- §6 算子与泛函的延拓
- §7 共轭空间与共轭算子, 商空间
- §8 序空间
- 第九章 专题研究导读
- §1 Fourier分析(调和分析)
- §2 逼近论
- §3 分数次积分算子(量子微积分)
- §4 凸分析
- §5 谱分析
- §6 广义函数
- §7 Banach不动点定理
- 参考文献
