在此书中讨论的关于对线性及非线性偏微分方程的应用包括：korn不等式及线性弹性的存在定理，障碍问题，Babuška—Brezzi 上下确界条件，流体力学中的 Stokes 和 Navier--Stokes 方程组的存在定理, 非线性弹性板中的 von Kármán 方程的存在定理, 以及非线性弹性中 John Ball 的存在性定理等。各种各样的其他应用论题则选自数值分析及最优化理论，例如，逼近论，多项式插值的误差估计，数值线性代数，最优化的基本算法，Newton 方法，或有限差分法等。
- 目录
- 前辅文
- 第1 章 实分析和函数论
- 引言
- 1.1 集合
- 1.2 映射
- 1.3 选择公理和Zorn 引理
- 1.4 集合R 和C 的构造
- 1.5 基数; 有限集和无限集
- 1.6 拓扑空间
- 1.7 拓扑空间中的连续性
- 1.8 拓扑空间中的紧性
- 1.9 拓扑空间中的连通和单连通性
- 1.10 距离空间
- 1.11 距离空间的连续性和一致连续性
- 1.12 完备距离空间
- 1.13 距离空间中的紧性
- 1.14 Rn 中的Lebesgue 测度; 可测函数
- 1.15 Rn 中的Lebesgue 积分; 基本定理
- 1.16 Rn 上Lebesgue 积分的变量代换
- 1.17 Rn 中的体积、面积和长度
- 1.18 空间Cm(Ω) 和Cm(Ω); Rn 中的域
- 第2 章 赋范向量空间
- 引言
- 2.1 向量空间; Hamel 基; 向量空间的维数
- 2.2 赋范向量空间; 基本性质和例; 商空间
- 2.3 K 为紧集时的空间C(K; Y ); 一致收敛和局部一致收敛性
- 2.4 空间ℓp; 1 6 p 6 1
- 2.5 Lebesgue 空间Lp(Ω); 1 6 p 6 1
- 2.6 空间Lp(Ω) (1 6 p < 1) 的正则化与逼近
- 2.7 紧性和有限维赋范向量空间; FRiesz 定理
- 2.8 有限维赋范向量空间中紧性的应用; 代数学基本定理
- 2.9 赋范向量空间上的连续线性算子; 空间L(X; Y );L(X) 和X_
- 2.10 赋范向量空间上的紧线性算子
- 2.11 赋范向量空间上的连续多重线性映射; 空间Lk(X1; X2; _ _ _ ;Xk; Y )
- 2.12 Korovkin 定理
- 2.13 Korovkin 定理对多项式逼近的应用; Bohman 定理, Bernstein 定理和Weierstrass 定理
- 2.14 Korovkin 定理应用于三角多项式逼近; Fejér 定理
- 2.15 Stone-Weierstrass 定理; 对复三角多项式逼近的应用
- 2.16 凸集
- 2.17 凸函数
- 第3 章 Banach 空间
- 引言
- 3.1 Banach 空间; 基本性质
- 3.2 Banach 空间的例子; 空间C(K; Y ), 其中K 为紧集, Y 完备, 和空间L(X; Y ), 其中Y 完备
- 3.3 取值于Banach 空间的单实变量连续函数的积分
- 3.4 Banach 空间的例: 空间ℓp 和Lp(Ω); 1 6 p 6 1
- 3.5 赋范向量空间的对偶; 例; Lp(Ω)(1 6 p < 1) 中的FRiesz表示定理
- 3.6 Banach 空间的级数
- 3.7 Banach 不动点定理
- 3.8 Banach 不动点定理的应用: 非线性常数微分方程解的存在性; Cauchy-
- Lipschitz 定理; 单摆方程
- 3.9 Banach 不动点定理的应用: 非线性两点边值问题解的存在性
- 3.10 Ascoil-Arzelà 定理
- 3.11 Ascoli-Arzelà 定理的应用: 非线性常数微分方程解的存在性, Cauchy-
- Peano 定理, Euler 方法
- 第4 章 内积空间和Hilbert 空间
- 引言
- 4.1 内积空间和Hilbert 空间; Cauchy-Schwarz-
- Bunyakovskiǐ 不等式; 平行四边形法则
- 4.2 内积空间和Hilbert 空间的例子; 空间ℓ2 和L2(Ω)
- 4.3 投影定理
- 4.4 投影定理的应用: 线性系统的最小二乘解
- 4.5 直交性; 直和定理
- 4.6 Hilbert 空间中的FRiesz 表示定理
- 4.7 FRiesz 表示定理的应用: Hilbert 空间中的Hahn-Banach 定理; 伴随算子; 再生核
- 4.8 内积空间的极大规范正交系
- 4.9 Hilbert 空间中的Hilbert 基和Fourier 级数
- 4.10 内积空间中的自伴算子的特征值和特征函数
- 4.11 紧自伴算子的谱定理
- 第5 章 线性泛函分析中的重要定理
- 引言
- 5.1 Baire 定理; 首选应用: 多项式空间的不完备性
- 5.2 Baire 定理的应用: 连续而无处可微函数的存在性
- 5.3 Banach-Steinhaus 定理, 即一致有界性原理; 对数值求积公式的应用
- 5.4 Banach-Steinhaus 定理的应用: Lagrange 插值的发散性
- 5.5 Banach-Steinhaus 定理的应用: Fourier 级数的发散
- 5.6 Banach 开映射定理; 首选应用: 两点边值问题的适定性
- 5.7 Banach 闭图像定理; 首选应用: Hellinger-Toeplitz 定理
- 5.8 向量空间中的Hahn-Banach 定理
- 5.9 赋范向量空间的Hahn-Banach 定理; 第一个推论
- 5.10 Hahn-Banach 定理的几何形式: 凸集的分离
- 5.11 对偶算子; Banach 闭值域定理
- 5.12 弱收敛和弱_ 收敛
- 5.13 Banach-Saks-Mazur 定理
- 5.14 自反空间; Banach-Eberlein-Šmulian 定理
- 第6 章 线性偏微分方程
- 引言
- 6.1 二次极小化问题; 变分方程和变分不等式
- 6.2 Lax–Milgram 引理
- 6.3 Lloc(Ω) 中的弱偏导数; 分布论简介
- 6.4 Δ 的次椭圆性
- 6.5 Sobolev 空间Wm;p(Ω) 及Hm(Ω): 基本性质
- 6.6 关于区域Ω 的Sobolev 空间Wm;p(Ω) 和Hm(Ω): 嵌入定理, 迹,Green 公式
- 6.7 二阶线性椭圆边值问题的例; 薄膜问题
- 6.8 四阶线性边值问题的实例; 重调和与板问题
- 6.9 与变分不等式相应的非线性边值问题的实例; 障碍问题
- 6.10 二阶椭圆算子的特征值问题
