本书共分五章,分别介绍了向量值函数的积分和向量值测度,算子半群,拓扑线性空间,Banach代数,非线性映射等基本内容｡除广义函数论因《实变函数论与泛函分析》( 夏道行等编) 第七章中已有扼要介绍外,泛函分析中最重要也是最具应用价值的几个部分都在本书中作了介绍｡只要具备大学阶段所规定的泛函分析基础课知识就可阅读本书,本书可作为综合大学､师范院校数学类各专业高年级学生的选修课教材,也可作为理､工科有关专业研究生教材｡
- 前辅文
- 第一章 向量值函数的积分与向量值测度
- 1.1 向量值函数的微积分
- 1.1.1 向量值函数的连续性
- 1.1.2 向量值函数的可导性
- 1.1.3 向量值函数的Riemann 积分
- 1.2 向量值可测函数
- 1.2.1 可测函数的定义
- 1.2.2 强可测与弱可测的关系
- 1.2.3 算子值可测函数
- 1.3 Bochner 积分和Pettis 积分
- 1.3.1 Pettis 积分
- 1.3.2 Bochner 积分
- 1.3.3 Bochner 可积函数的性质
- 1.3.4 算子值函数的Bochner 积分
- 1.4 向量值测度
- 1.4.1 向量值测度的基本概念
- 1.4.2 向量值测度的可列可加性
- 1.4.3 向量值测度的绝对连续性
- 1.4.4 Radon-Nikodym 性质
- 1.4.5 具有Riesz 表示的算子
- 1.4.6 关于Radon-Nikodym 性质的附注
- 1.4.7 Vitali-Hahn-Saks 定理
- 1.4.8 数值函数关于向量值测度的积分
- 第二章 算子半群
- 2.1 算子半群的概念
- 2.1.1 算子半群概念的由来
- 2.1.2 算子半群的一些例子
- 2.1.3 算子半群的可测性和连续性
- 2.2 C_0 类算子半群
- 2.2.1 C_0 类算子半群的基本概念
- 2.2.2 无穷小母元的预解式
- 2.2.3 C_0 类算子半群的表示
- 2.2.4 无穷小母元的特征
- 2.2.5 C_0 类压缩半群
- 2.3 算子半群的应用
- 2.3.1 Taylor 公式的推广
- 2.3.2 抽象Cauchy 问题
- 2.4 遍历理论
- 2.4.1 概述
- 2.4.2 遍历定理
- 2.4.3 推广的形式
- 2.4.4 算子半群的遍历定理
- 2.5 单参数算子群,Stone 定理
- 2.5.1 半群成为群的条件
- 2.5.2 单参数酉算子群的Stone 定理
- 2.5.3 Stone 定理的应用: 平稳随机过程
- 2.5.4 Stone 定理的应用: 平均遍历定理
- 第三章 拓扑线性空间
- 3.1 拓扑空间
- 3.1.1 邻域, 序, 网
- 3.1.2 拓扑的强弱､ 生成和分离公理
- 3.1.3 连续映射和Uryson引理
- 3.1.4 紧性
- 3.1.5 乘积拓扑, Tihonov定理
- 3.1.6 诱导拓扑和可度量化空间
- 3.2 拓扑线性空间
- 3.2.1 基本概念和性质
- 3.2.2 有限维线性空间的特征
- 3.2.3 线性连续算子和线性连续泛函
- 3.2.4 有界集和完全有界集
- 3.2.5 局部基的特征, 商拓扑
- 3.2.6 完备集, 完备性
- 3.2.7 线性度量空间
- 3.3 凸集与局部凸空间
- 3.3.1 凸集及凸集的分离定理
- 3.3.2 凸集的Minkowski 泛函, 线性泛函的延拓
- 3.3.3 局部凸空间
- 3.3.4 弱拓扑, 商拓扑
- 3.3.5 弱 * 拓扑
- 3.3.6 端点, Kre_n-Mil_man定理, 不动点定理
- 3.4 几种局部凸空间
- 3.4.1 囿空间
- 3.4.2 桶式空间
- 3.4.3 Mackey 空间
- 3.4.4 赋范线性空间
- 3.4.5 B(H\to H) 的各种拓扑
- 3.4.6 归纳极限与投影极限
- 第四章 Banach 代数
- 4.1 基本概念和性质, 元的正则集及谱
- 4.1.1 代数, 单位元, 正则元, 正则集及谱
- 4.1.2 Banach 代数中元素的谱
- 4.1.3 元素在子代数中的谱
- 4.1.4 几个例子
- 4.2 Gel fand表示, 交换Banach 代数
- 4.2.1 线性可乘泛函
- 4.2.2 Gel fand 表示
- 4.2.3 理想, 极大理想
- 4.2.4 几个Banach 代数上线性可乘泛函的形式
- 4.2.5 半单的Banach 代数
- 4.3 对称Banach 代数
- 4.3.1 对合
- 4.3.2 正泛函与表示
- 4.3.3 不可分解的正泛函与既约表示
- 4.4 C^* 代数
- 4.4.1 C^* 代数的基本性质
- 4.4.2 正常元的函数演算
- 4.4.3 谱分解定理
- 4.4.4 二次换位定理
- 4.4.5 正元
- 4.4.6 Kaplansky 稠密性定理
- 4.4.7 正泛函, 态与纯态
- 4.4.8 线性有界泛函的分解
- 4.4.9 纯态与可乘性
- 4.5 群代数
- 4.5.1 局部紧Hausdorff 空间上的积分
- 4.5.2 局部紧群上的Haar 积分
- 4.5.3 群代数
- 第五章 非线性映射
- 5.1 映射的微分
- 5.1.1 强微分
- 5.1.2 弱微分
- 5.1.3 高阶微分
- 5.1.4 Taylor 公式
- 5.1.5 幂级数
- 5.2 隐函数定理
- 5.2.1 C^p 映射
- 5.2.2 隐函数存在定理
- 5.2.3 隐函数的可微性
- 5.3 泛函极值
- 5.3.1 泛函极值的必要条件
- 5.3.2 泛函极值存在性的下半弱连续条件
- 5.3.3 最速下降法
- 5.3.4 泛函极值存在性的Palais-Smale 条件
- 5.4 Brouwer 度
- 5.4.1 C^1 类映射的拓扑度
- 5.4.2 几个引理
- 5.4.3 C^1 类映射的拓扑度(续)
- 5.4.4 连续映射的拓扑度及其性质
- 5.5 Leray-Schauder 度
- 5.5.1 全连续映射
- 5.5.2 Leray-Schauder 度的定义
- 5.5.3 Leray-Schauder 度的性质
- 5.6 不动点定理
- 5.6.1 Brouwer 不动点定理
- 5.6.2 不动点定理
- 5.6.3 集压缩映射的不动点
- 5.6.4 多值映射的不动点
- 参考文献
- 索引
