本书是基于编者在复旦大学多年的教学实践经验编写而成的。全书共分为六章；第一章阐述了微分方程的基本概念，并列举了若干典型的微分方程实例；第二章讲解了一些初等解法以及线性方程的相关内容；第三章介绍了线性微分方程组；第四章深入探讨了常微分方程的基本理论；第五章初步介绍了定性理论；第六章则聚焦于一阶偏微分方程。
本书适合作为高水平本科院校数学类专业本科生及研究生学习常微分方程课程的教材或教学参考书，也可供科技工作者参考。
- 前辅文
- 第一章 绪论
- 1.1 基本概念
- 1.1.1 常微分方程
- 1.1.2 方程的解
- 1.1.3 定解条件
- 1.1.4 解的几何意义
- 1.2 若干典型微分方程实例
- 第二章 初等解法与线性方程
- 2.1 恰当方程和积分因子法
- 2.2 一阶方程的其他初等解法
- 2.2.1 分离变量法
- 2.2.2 一阶线性方程
- 2.2.3 齐次方程
- 2.2.4 初等变换法
- 2.3 一阶隐式方程
- 2.4 二阶常系数线性方程
- 2.4.1 二阶常系数齐次线性方程的求解
- 2.4.2 二阶常系数非齐次线性方程的求解
- 2.5 高阶方程降阶与高阶常系数线性方程
- 2.5.1 高阶常微分方程的降阶
- 2.5.2 高阶常系数线性方程
- 2.6 微分方程组的首次积分
- 2.7 算子法与Laplace变换
- 第三章 线性微分方程组
- 3.1 一些基础知识
- 3.2 一般线性微分方程组
- 3.2.1 齐次线性方程组
- 3.2.2 基解矩阵与Wronski行列式
- 3.2.3 d'Alembert降阶法
- 3.2.4 非齐次线性方程组与常数变易法
- 3.3 常系数线性方程组
- 3.4 矩阵函数
- 3.5 高阶线性方程
- 3.5.1 齐次方程
- 3.5.2 d'Alembert降阶法
- 3.5.3 非齐次方程与常数变易法
- 3.6 二阶线性方程边值问题
- 3.7 基本解与Green函数
- 3.8 Sturm-Liouville特征值问题
- 第四章 常微分方程的基本理论
- 4.1 初值问题解的存在唯一性定理
- 4.2 存在唯一性定理的进一步讨论
- 4.3 解的延拓
- 4.4 比较定理和Gronwall不等式
- 4.4.1 比较定理
- 4.4.2 Gronwall不等式
- 4.5 不动点定理与解的存在唯一性定理
- 4.5.1 压缩映射原理及其在常微分方程理论中的应用
- 4.5.2 Schauder不动点定理及其在常微分方程理论中的应用
- 4.6 解关于初值和参数的连续依赖性和连续可微性
- 4.6.1 解关于初值和参数的连续依赖性
- 4.6.2 解关于初值和参数的连续可微性
- 第五章 定性理论初步
- 5.1 自治系统
- 5.1.1 相空间、轨线与奇点
- 5.1.2 自治系统的基本性质
- 5.2 平面自治系统的奇点
- 5.2.1 平面线性系统的奇点分类
- 5.2.2 平面非线性系统的Perron定理
- 5.3 平面自治系统的极限环
- 5.3.1 闭轨线与极限环
- 5.3.2 闭轨线不存在的判别法
- 5.3.3 环域定理
- 5.4 Lyapunov稳定性
- 5.4.1 稳定性的概念
- 5.4.2 线性系统的稳定性
- 5.5 Lyapunov直接方法
- 5.5.1 υ函数
- 5.5.2 Lyapunov稳定性的基本定理
- 5.6 Lyapunov函数的存在性
- 5.6.1 线性自治系统中的Lyapunov函数
- 5.6.2 Lyapunov函数的构造
- 5.7 一次近似理论
- 第六章 一阶偏微分方程
- 6.1 引论
- 6.2 一阶齐次线性偏微分方程
- 6.3 一阶拟线性偏微分方程
- 6.3.1 拟线性与齐次线性偏微分方程
- 6.3.2 方向场与特征曲线
- 6.3.3 Cauchy问题
- 参考文献
