《法兰西数学精品译丛：代数学教程》规定了3个科目复习和考试的内容、要求和试卷结构等。新大纲供2007年参加成人高考于2008年入学的考生使用。大纲对不同类型考生的系统复习具有权威指导作用，同时也是成人高考“专升本”考试命题的惟一依据。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 集合论
- 0 逻辑推理
- 1 逻辑完美的构思
- 2 数学的真实语言
- 3 初等逻辑运算
- 4 公理和定理
- 5 逻辑公理和重言式
- 6 关系中的代换
- 7 量词
- 8 量词使用规则
- 9 Hilbert 运算, 组成准则
- 习题
- 1 相等和属于关系
- 1 相等关系
- 2 属于关系
- 3 一个集合的子集
- 4 空集
- 5 一个和两个元素的集合
- 6 一个给定集合的子集的集合
- 习题
- 2 函数概念
- 1 序偶
- 2 两个集合的笛卡儿乘积
- 3 图像和函数
- 4 像和逆像
- 5 函数的限制和延拓
- 6 复合映射
- 7 单射
- 8 满射和双射
- 9 多变量函数
- 习题
- 3 并集和交集
- 1 两个集合的并集和交集
- 2 一族集合的并集
- 3 一族集合的交集
- 习题
- 4 等价关系
- 1 等价关系
- 2 集合关于一个等价关系的商集
- 3 定义在商集上的函数
- 习题
- 5 有限集和自然数
- 1 等势集
- 2 集合的基数
- 3 基数的运算
- 4 有限集和自然数
- 5 自然数集合\ ${\bf N $
- 6 数学归纳法推理
- 7 组合分析
- 8 有理整数
- 9 有理数
- 习题
- 第二章 群, 环, 域
- 6 运算
- 1 运算, 结合性和交换性
- 2 可对称元
- 7 群的概念
- 1 群的定义, 例子
- 2 群的直积
- 3 群的子群
- 4 子群的交, 生成元
- 5 置换和对换
- 6 陪集
- 7 $n$ 个对象的置换数
- 8 群的同态
- 9 同态的核与像
- 10 应用到循环群
- 11 作用在一个集合上的群
- 习题
- 8 环和域
- 1 环的定义, 例子
- 2 整环和域
- 3 模\ $p$ 整数环
- 4 二项式公式
- 5 和的乘积展开
- 6 环的同态
- 习题
- 9 复数
- 1 平方根
- 2 预备知识
- 3 环
- 4 二次扩张的可逆元
- 5 交换域的情形
- 6 复数的几何表示
- 7 三角函数的乘法公式
- 习题
- 第三章 环上的模
- 10 模和向量空间
- 1 环上的模的定义
- 2 模的例子
- 3 子模, 向量子空间
- 4 右模和左模
- 11 模内的线性关系
- 1 线性组合
- 2 有限生成模
- 3 线性关系
- 4 自由模, 基
- 5 无穷线性组合
- 习题
- 12 线性映射, 矩阵
- 1 同态的定义
- 2 从有限生成自由模到任意模内的同态
- 3 同态和矩阵
- 4 同态和矩阵的例子
- 13 同态和矩阵的加法
- 1 加法群
- 2 矩阵的加法
- 14 矩阵的乘积
- 1 模的自同态环
- 2 两个矩阵的乘积
- 3 矩阵环
- 4 同态的矩阵表示
- 习题
- 15 逆矩阵和基的变换
- 1 模的自同构群
- 2 群
- 3 例子: 群
- 4 基的变换: 过渡矩阵
- 5 基的变换对于一个同态的矩阵的影响
- 15 习题
- 16 线性映射的转置
- 1 模的对偶
- 2 有限生成自由模的对偶
- 3 模的二次对偶
- 4 同态的转置
- 5 矩阵的转置
- 习题
- 17 子模的和
- 1 两个子模的和
- 2 模的直积
- 3 子模的直和
- 4 直和与投影
- 习题
- 第四章 有限维向量空间
- 18 有限性定理
- 1 其核与像均为有限生成的同态
- 2 Noether 环上的有限生成模
- 3 主理想整环上的自由模的子模
- 4 应用到线性方程组
- 5 Noether 环的其他特征
- 18 习题
- 19 维数概念
- 1 基的存在性
- 2 由线性方程组定义向量子空间
- 3 线性方程组相容性条件
- 4 线性关系的存在性
- 5 维数概念
- 6 基和维数的特征
- 7 同态的核与像的维数
- 8 同态、向量族和矩阵的秩
- 9 矩阵的秩的计算
- 10 从其方程计算向量子空间的维数
- 习题
- 20 线性方程组
- 1 记号和术语
- 2 线性方程组的秩, 解的存在性条件
- 3 相伴齐次方程组
- 4 Cramer 方程组
- 5 线性无关的方程组: 化简为\ Cramer 方程组
- 习题
- 第五章 行列式
- 21 多重线性函数
- 1 多重线性映射的定义
- 2 多重线性映射的张量积
- 3 几个代数等式
- 4 有限生成自由模的情形
- 5 基的变换对于张量分量的影响
- 21 习题
- 22 交错双线性和三重线性映射
- 1 交错双线性映射
- 2 有限生成自由模的情形
- 3 交错三重线性映射
- 4 关于一个基的展开
- 22 习题
- 23 交错多重线性映射
- 1 置换的表示
- 2 多变量函数的反对称化
- 3 交错多重线性映射
- 4 在同构于的模上的交错重线性函数
- 5 向量组、 矩阵和自同态的行列式
- 6 有限维向量空间基的特征
- 7 交错多重线性映射: 一般情形
- 8 线性无关性的判别法
- 9 线性方程组的相容性条件
- 23 习题
- 24 行列式
- 1 行列式的基本性质
- 2 行列式按一行或一列的展开
- 3 伴随矩阵
- 4 Cramer 公式
- 24 习题
- 25 仿射空间
- 1 平移向量空间
- 2 与一个向量空间相伴的仿射空间
- 3 仿射空间内的重心
- 4 仿射空间内的线性流形
- 5 由直线生成线性流形
- 6 有限维仿射空间, 仿射基
- 7 线性流形维数的计算
- 8 仿射坐标下线性流形的方程
- 第六章 多项式和代数方程
- 26 代数关系
- 1 环的元素上的单项式和多项式
- 2 代数关系
- 3 交换域的情形
- 26 习题
- 27 多项式环
- 1 一个未定元情形的预备知识
- 2 一个未定元的多项式
- 3 多项式记号
- 4 多个未定元的多项式
- 5 偏次数和总次数
- 6 系数在一个整环内的多项式
- 28 多项式函数
- 1 多项式的值
- 2 多项式函数的和与乘积
- 3 无限域的情形
- 习题
- 29 有理分式
- 1 整环的分式域: 预备知识
- 2 分式域的构造
- 3 域的公理的验证
- 4 环\ ${\rm K $ 嵌入到它的分式域
- 5 系数在一个域内的有理分式
- 6 有理分式的值
- 9 习题
- 30 导子和\ Taylor 公式
- 1 环的导子
- 2 多项式环的导子
- 3 偏导子
- 4 复合函数的导子
- 5 Taylor 公式
- 6 交换域的特征
- 7 方程根的重数
- 习题
- 31 主理想整环
- 1 最大公因子
- 2 互素元素
- 3 最小公倍
- 4 素因子的存在性
- 5 素元的性质
- 6 素因子分解的唯一性
- 7 借助素因子分解求最大公因子和最小公倍
- 8 主理想整环上的分式的部分分式分解
- 31 习题
- 32 多项式除法
- 1 一个未定元的多项式除法
- 2 一个未定元的多项式环中的理想
- 3 几个多项式的最大公因式和最小公倍式
- 4 应用到有理分式
- 32 习题
- 33 代数方程的根
- 1 根的最大数目
- 2 代数闭域
- 3 系数在代数闭域内的方程根的数目
- 4 系数在代数闭域内的不可约多项式
- 5 实系数不可约多项式
- 6 方程的根与系数的关系
- 33 习题
- 第七章 矩阵的化简
- 34 特征值
- 1 特征向量和特征值的定义
- 2 矩阵的特征多项式
- 3 特征多项式的形式
- 4 特征值的存在性
- 5 化成三角矩阵
- 6 特征值都是单特征值的情形
- 7 可对角化的自同态的特征
- 34 习题
- 35 矩阵的典范形式
- 1 Hamilton-Cayley 定理
- 2 幂零自同态分解
- 3 幂零自同态的结构
- 4 Jordan 定理
- 35 习题
- 36 Hermit 型
- 1 半双线性型, Hermit 型
- 2 非退化型
- 3 同态的伴随同态
- 4 关于非退化\ Hermit 型的正交性
- 5 正交基
- 6 规范正交基
- 7 Hermit 型的自同构
- 8 正定\ Hermit 型的自同构: 化成对角形
- 9 迷向向量和不定型
- 10 Cauchy-Schwarz 不等式
- 习题
- 参考文献
- 记号索引
- 术语索引
