现代几何学：方法与应用 (第二卷) 流形上的几何与拓扑 (第5版)

《现代几何学--方法与应用》是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。全书力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(第一卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。

目录
- 第一章流形的例子
  - §1．流形的概念
    - 1．流形的定义
    - 2．流形的映射；流形上的张量
    - 3．流形的嵌入和浸入．带边界流形
  - §2．最简单的流形例子
    - 1．欧几里得空间中的曲面．流形上的变换群
    - 2．射影空间
  - §3．李群理论中的必需结果
    - 1．李群单位元的邻域结构．李群的李代数．半单性
    - 2．（线性）表示的概念．非矩阵李群的例子
  - §4．复流形
    - 1．定义和例子
    - 2．作为流形的黎曼面
  - §5．最简单的齐性空间
    - 1．群在流形上的作用
    - 2．齐性空间的例子
  - §6．常曲率空间（对称空间）
    - 1．对称空间的概念
    - 2．等距群及其李代数的性质
    - 3．1型和2型对称空间
    - 4．作为对称空间的李群
    - 5．对称空间的构造．一些例子
  - §7．流形上的切丛
    - 1．与切向量有关的构造
    - 2．子流形的法丛
- 第二章基本问题．函数论中一些必需的结果．典型的光滑映射
  - §8．单位分解及其应用
    - 1．单位分解
    - 2．单位分解的最简单的应用．流形上的积分和斯托克斯公式
    - 3．不变度量
  - §9．紧流形作为曲面在Rn中的实现
  - §10．流形的光滑映射的某些性质
    - 1．用光滑映射逼近连续映射
    - 2．萨德定理
    - 3．横截正则性
    - 4．莫尔斯函数
  - §11．萨德定理的应用
    - 1．嵌入和浸入的存在性
    - 2．作为高度函数构造莫尔斯函数
    - 3．焦点
- 第三章映射度和相交指数及其应用
  - §12．同伦的概念
    - 1．同伦的定义．映射和同伦的光滑逼近
    - 2．相对同伦
  - §13．映射度
    - 1．度的定义
    - 2．基本定义的推广
    - 3．流形到球面的映射的同伦分类
    - 4．最简单的例子
  - §14．映射度的若干应用
    - 1．积分与映射度
    - 2．超曲面上的向量场的度
    - 3．惠特尼数．高斯-博内公式
    - 4．向量场奇点的指标
    - 5．向量场的横截曲面．庞加莱-本迪克松定理
  - §15．相交指数及其应用
    - 1．相交指数的定义
    - 2．向量场的全指数
    - 3．不动点的代数个数．布劳威尔定理
    - 4．环绕系数
- 第四章流形的可定向性．基本群．覆叠空间（具离散纤维的纤维丛）
  - §16．可定向性和闭路的同伦
    - 1．定向沿路径的移动
    - 2．不可定向流形的例子
  - §17．基本群
    - 1．基本群的定义
    - 2．与基点的关系
    - 3．圆周的映射的自由同伦类
    - 4．同伦等价
    - 5．些例子
    - 6．基本群和可定向性
  - §18．覆叠映射和覆叠同伦
    - 1．覆叠映射的定义和基本性质
    - 2．最简单的例子．万有覆叠
    - 3．分支覆叠．黎曼面
    - 4．覆叠与离散变换群
  - §19．覆叠与基本群．某些流形的基本群的计算
    - 1．单值
    - 2．利用覆叠计算基本群
    - 3．最简单的同调群
  - §20．罗巴切夫斯基平面的离散运动群
- 第五章同伦群
  - §21．绝对同伦群和相对同伦群的定义．例
    - 1．基本定义
    - 2．相对同伦群．偶的正合序列
  - §22．覆叠同伦．覆叠空间的同伦群和闭路空间
    - 1．纤维化概念
    - 2．纤维化的正合序列
    - 3．同伦群对基点的依赖性
    - 4．李群的情形
    - 5．怀特黑德乘法
  - §23．球面同伦群的若干结果．装配流形．霍普夫不变量
    - 1．装配流形和球面的同伦群
    - 2．纬垂映射
    - 3．群πn+1(Sn)的计算
    - 4．群πn+2(Sn)
- 第六章光滑纤维丛
  - §24．纤维丛的同伦理论
    - 1．光滑纤维丛的概念
    - 2．联络
    - 3．借助于纤维丛计算同伦群
    - 4．纤维丛的分类
    - 5．向量丛和向量丛的运算
    - 6．亚纯函数
    - 7．皮卡-莱夫谢茨公式
  - §25．纤维丛的微分几何学
    - 1．主丛上的G联络
    - 2．伴随丛中的G联络．例
    - 3．曲率
    - 4．示性类．构造
    - 5．示性类．枚举
  - §26．纽结和链环．辫
    - 1．纽结群
    - 2．亚历山大多项式
    - 3．与纽结相关的纤维丛
    - 4．链环
    - 5．辫
- 第七章动力系统的某些例子和流形的叶状结构
  - §27．动力系统定性理论的最简单的一些概念．2维流形
    - 1．基本定义
    - 2．环面上的动力系统
  - §28．流形上的哈密顿系统．刘维尔定理．例
    - 1．余切丛上的哈密顿系统
    - 2．流形上的哈密顿系统．例
    - 3．测地流
    - 4．刘维尔定理
    - 5．例
  - §29．叶状结构
    - 1．基本定义
    - 2．余维数1的叶状结构的例子
  - §30．具高阶导数的变分问题．哈密顿场系统
    - 1．具高阶导数的问题的哈密顿形式体系
    - 2．例
    - 3．场系统的哈密顿形式体系
- 第八章高维变分问题解的整体结构
  - §31．广义相对论（OTO）中的某些流形
    - 1．问题的表达
    - 2．球对称解
    - 3．轴对称解
    - 4．宇宙模型
    - 5．弗里德曼模型
    - 6．各向异性真空模型
    - 7．更一般的模型
  - §32．杨-米尔斯方程的某些整体解的例子．手征场
    - 1．总的评注．单极型解
    - 2．对偶性方程
    - 3．手征场．狄利克雷积分
  - §33．复子流形的极小性
- 参考文献
- 索引

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