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微分几何—— 流形、曲线和曲面 （第二版修订本）

样章
作者：
M.贝尔热， B.戈斯丢
定价：
89.00元
ISBN：
978-7-04-025801-1
版面字数：
0.000千字
开本：
16开
全书页数：
暂无
装帧形式：
平装
重点项目：
暂无
出版时间：
2009-07-07
物料号：
25801-A0
读者对象：
学术著作
一级分类：
自然科学
二级分类：
数学与统计
三级分类：
几何学
暂无
  • 前辅文
  • 第零章 复习和补充
    • 0.0 记号. 复习
    • 0.1 外代数
    • 0.2 微分法
    • 0.3 向量空间的开集上的微分形式
    • 0.4 积分法
    • 0.5 习题
  • 第一章 微分方程
    • 1.1 概述
    • 1.2 不依赖时间的微分方程: 局部解的存在性
    • 1.3 整体唯一性研究. 整体流
    • 1.4 依赖时间的向量场. 依赖一个参数的向量场
    • 1.5 唯一性和对于依赖时间的向量场的整体流
    • 1.6 相关知识和线性方程
  • 第二章 微分流形
    • 2.1 $\bf R ^n$ 的子流形
    • 2.2 抽象流形
    • 2.3 态射
    • 2.4 覆叠映射. 商
    • 2.5 切空间
    • 2.6 子流形, 浸入, 浸没, 嵌入
    • 2.7 单位法丛. 管形
    • 2.8 习题
  • 第三章 单位分解. 密度. 曲线
    • 3.1 紧致流形的嵌入
    • 3.2 单位分解
    • 3.3 流形上的密度
    • 3.4 一维连通流形的分类
    • 3.5 流形上的向量场和微分方程
    • 3.6 习题
  • 第四章 临界点
    • 4.1 定义. 例子
    • 4.2 数值函数的非退化临界点. 莫尔斯的简约
    • 4.3 萨德定理
    • 4.4 习题
  • 第五章 流形上的微分法
    • 5.1 丛 $\it \Lambda ^rT^\ast X$
    • 5.2 流形上的微分形式
    • 5.3 最大阶的微分形式和定向
    • 5.4 德拉姆群
    • 5.5 李导数
    • 5.6 星形开集. 庞加莱引理
    • 5.7 球面和射影空间的德拉姆群
    • 5.8 环面的德拉姆群
    • 5.9 习题
  • 第六章 流形上的积分法
    • 6.1 $d$ 维定向流形上 $d$ 阶微分形式的积分
    • 6.2 斯托克斯定理
    • 6.3 斯托克斯定理的第一批应用
    • 6.4 欧几里得空间的定向子流形的典范体积形式
    • 6.5 欧几里得空间的定向子流形的体积
    • 6.6 欧几里得空间的子流形的典范密度
    • 6.7 管形的体积 I: 体积形式的补充
    • 6.8 管形的体积 II
    • 6.9 管形的体积 III
    • 6.10 习题
  • 第七章 映射度理论
    • 7.1 预备引理
    • 7.2 德拉姆群 $R^d(X)$ 的确定
    • 7.3 映射度
    • 7.4 映射度对于同伦的不变性. 应用
    • 7.5 管形的体积 (结尾)和高斯~-- 博内公式
    • 7.6 属于 $C^0(S^1
    • 7.7 抽象流形上向量场的指标
    • 7.8 习题
  • 第八章 曲线的局部理论
    • 8.0 引言
    • 8.1 定义
    • 8.2 仿射不变量: 切线, 密切平面, 凸性
    • 8.3 长度. 欧几里得空间的曲线的弧长参数表示
    • 8.4 欧几里得空间的曲线的曲率
    • 8.5 在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率
    • 8.6 欧几里得空间 (3 维的) 双正则曲线的挠率
    • 8.7 习题
  • 第九章 平面曲线的整体理论
    • 9.1 定义
    • 9.2 若尔当定理
    • 9.3 等周不等式
    • 9.4 平面曲线的回转数
    • 9.5 切线回转定理
    • 9.6 整体凸性
    • 9.7 四顶点定理
    • 9.8 法布里修斯 -- 布耶尔 -- 哈泊恩公式
    • 9.9 习题
  • 第十章 $\bf R ^3$~的曲面的局部理论的简短导引
    • 10.1 定义
    • 10.2 例子
    • 10.3 曲面的两个基本形式
    • 10.4 通过第一基本形式计算的量 (2 维黎曼几何)
    • 10.5 高斯曲率
    • 10.6 第二基本形式以及通过它计算的量
    • 10.7 曲面的两个基本形式之间的关系
    • 10.8 关于 $\bf R ^n+1 $ 中的超曲面
  • 第十一章 曲面的整体理论的简短导引
    • 第一部分 2 维整体黎曼流形
      • 11.1 最短路径的整体问题
      • 11.2 常曲率的曲面
      • 11.3 度量性质: 一阶和二阶变分公式
      • 11.4 最短路径的唯一性和单射半径
      • 11.5 $K\geqslant k$ 的流形
      • 11.6 $K\leqslant k$ 的流形
      • 11.7 高斯 -- 博内公式和霍普夫公式
      • 11.8 曲面上的等周不等式
      • 11.9 周期测地线和等收缩不等式
      • 11.10 只有周期测地线的曲面
      • 11.11 两部分间的过渡: 嵌入和浸入问题
    • 第二部分 嵌入或浸入到~$\bf R ^3$ 内的曲面
      • 11.12 零曲率的曲面
      • 11.13 高斯曲率为正或零的曲面
      • 11.14 唯一性和刚性
      • 11.15 $K<0$ 的曲面
      • 11.16 平均曲率为零的曲面, 又名极小曲面
      • 11.17 平均曲率是常数的曲面或肥皂泡曲面
      • 11.18 魏因加滕曲面
      • 11.19 作为平面族的包络的曲面: 公式和应用
      • 11.20 对于曲面的等周不等式
      • 11.21 花束: 球面和迪潘四次圆纹曲面的表征
  • 参考文献
  • 法中术语对照
  • 索引

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