现代几何学：方法与应用(第一卷)曲面几何、变换群与场(变更封面)

《现代几何学：方法与应用(第1卷几何曲面变换群与场第5版)》是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。全书力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(第一卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。

目录
- 前辅文
- 第一章空间区域中的几何. 基本概念
  - §1. 坐标系
    - 1. 空间的笛卡儿坐标
    - 2. 坐标变换
  - §2. 欧氏空间
    - 1. 欧氏空间中的曲线
    - 2. 二次型和向量
  - §3. 黎曼和伪黎曼空间
    - 1. 黎曼度量
    - 2. 闵可夫斯基度量
  - §4. 欧氏空间的最简单的变换群
    - 1. 区城的变换群
    - 2. 平面的变换
    - 3. 三维欧氏空间的运动
    - 4. 变换群的其他例子
  - §5. 弗莱纳公式
    - 1. 平面曲线
    - 2. 空间曲线. 曲率和挠率
    - 3. 依赖于参数的正交变换
  - §6. 伪欧几里得空间
    - 1. 狭义相对论的最简单概念
    - 2. 洛伦兹变换
- 第二章曲面论
  - §7. 空间曲面的几何
    - 1. 曲面上的坐标
    - 2. 切平面
    - 3. 曲面上的度量
    - 4. 曲面的面积
  - §. 第二基本型
    - 1. 欧氏空间中曲面上曲线的曲率
    - 2. 二次型偶对的不变量
    - 3. 第二基本型的性质
  - §9. 球面的度量
  - §10. 在伪欧氏空间中的类空曲面
    - 1. 伪球面
    - 2. R13中类空曲面的曲率
  - §11. 几何中的复语言
    - 1. 复坐标和实坐标
    - 2. 埃尔米特内积
    - 3. 复变换群的例子
  - §12. 解析函数
    - 1. 长度元和函数微分的复表示
    - 2. 复坐标变换
    - 3. 复空间中的曲面
  - §13. 曲面度量的共形形式
    - 1. 等温坐标、共形坐标下的高斯曲率
    - 2. 在共形形式下的球面度量和罗巴切夫斯基平面的度量
    - 3. 常曲率曲面
  - §14. 作为N维空间中的曲面变换群
    - 1. 在单位元的邻城内的坐标
    - 2. 矩阵的指数映射
    - 3. 四元数
  - §15. 高维欧氏空间和伪欧氏空间的共形变换
- 第三章张量. 代数理论
  - §16. 张量的例子
    - 1. 数值函数的梯度
    - 2. 黎曼度量
  - §17. 张量的-般定义。
    - 1. 任意阶张量的分量的变换规律
    - 2. 张量的代数运算
  - §18. (0,k)型张量
    - 1. 表下指标张量为微分形式
    - 2. (0,k)型反称张量
    - 3. 微分形式的外积. 外代数
    - 4. (k,0)型反称张量(多向量). 对于反交换变量的积分
  - §19. 黎曼和伪黎曼空间中的张量
    - 1. 升标和降标
    - 2. 二次型的特征值
    - 3. *算子
    - 4. 欧氏空间的张量
  - §20. 晶体群和平面与空间旋转群的有限子群. 不变张量的例子
  - §21. 伪欧氏空间的二阶张量和它们的特征值
    - 1. 反称张量. 电磁场的不变量
    - 2. 对称张量和特征值. 电磁场的能量-动量张量
  - §22. 在映射下张量的行为
    - 1. 具下指标的张量的一般限制运算
    - 2. 切空间的映射
  - §23. 向量场
    - 1. 微分同胚的单参数群
    - 2. 向量场的指数映射
    - 3. 李导数. 例子
  - §24. 李代数
    - 1. 李代数和向量场
    - 2. 基本的矩阵李代数
    - 3. 线性向量场
    - 4. 变换群上的左不变向量场
    - 5. 基灵度量
    - 6. 三维李代数的分类
    - 7. 共形群的李代数
- 第四章张量的微分学
  - §25. 反称张量的微分
    - 1. 反称张量的梯度
    - 2. 形式的外微分
  - §26. 反称张量和积分理论
    - 1. 微分形式的积分
    - 2. 微分形式的例题
    - 3. 广义斯托克斯公式. 例题
    - 4. 对立方体上的广义斯托克斯定理的证明
  - §27. 复空间中的微分形式
    - 1. 算子d和d"
    - 2. 凯勒度量. 曲率形式
  - §28. 共变微分
    - 1. 欧氏联絡
    - 2. 任意阶张量的共变微分
  - §29. 共变微分和度量
    - 1. 向量场的平行移动
    - 2. 测地线
    - 3. 与度量相容的联絡
    - 4. 与复结构相容的联絡
  - §30. 曲率张量
    - 1. 一般曲率张量
    - 2. 曲率张量的对称性。由度量产生的曲率张量
    - 3. 例题:基灵度量下二维和三维空间的曲率张量
    - 4. 彼得松-柯达齐方程. 具常负曲率的曲面和“正弦-戈登”方程
- 第五章变分法原理
  - §31. -维变分问题
    - 1. 欧拉-拉格朗日方程
    - 2. 泛函的基本例子
  - §32. 守恒定律
    - 1. 保持某个变分问题不变的变换群
    - 2. 几个例子. 守恒定律的应用
  - §33. 哈密顿体系
    - 1. 勒让德变换
    - 2. 活动坐标系
    - 3. 莫佩尔蒂和费马原理. 应用
  - §34. 相空间的几何理论
    - 1. 梯度系统
    - 2. 泊松括号
    - 3. 典则变换
  - §35. 曲面的拉格朗日函数
    - 1. 轨线把和哈密顿-雅可比方程
    - 2. 作为动量的一阶齐次函数的哈密顿情形
  - §36. 测地方程的二阶变分
    - 1. 二阶变分公式
    - 2. 共轭点和极小性条件
- 第六章高维变分问题. 场及几何不变量
  - §37. 最简单的高维变分问题
    - 1. 欧拉-拉格朗日方程
    - 2. 能量-动量张量
    - 3. 电磁场方程
    - 4. 引力场方程
    - 5. 皂膜
    - 6. 薄板的平衡方程
  - §38. 拉格朗日的例子
  - §39. 广义相对论的最简单概念
  - §40. 群SO(3)和0(3,1)的旋量表示. 狄拉克方程和它的性质
    - 1. 矩阵代数的自同构
    - 2. 群SO(3)的旋量表示
    - 3. 洛伦兹群的旋量表示
    - 4. 狄拉克方程
    - 5. 电磁场的狄拉克方程. 电荷的共轭算子
  - §41. 具有任意对称性的场的共变微分。
    - 1. 度规变换. 度规不变的拉格朗日
    - 2. 曲率形式
    - 3. 基本例子
  - §42. 度规不变的泛函的例子. 麦克斯韦和杨-米尔斯方程具恒等于零的变分导数的泛函(示性类)
- 参考文献
- 索引

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