现代几何学：方法与应用 (第一卷) 几何曲面、变换群与场 (第5版)

《现代几何学：方法与应用(第1卷几何曲面变换群与场第5版)》是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。全书力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(第一卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。

目录
- 《俄罗斯数学教材选译》序
- 第2版前言
- 第1版前言
- 第一章空间区域中的几何．基本概念
  - §1．坐标系
    - 1．空间的笛卡儿坐标
    - 2．坐标变换
  - §2．欧氏空间
    - 1．欧氏空间中的曲线
    - 2．二次型和向量
  - §3．黎曼和伪黎曼空间
    - 1．黎灸度量
    - 2.闵可夫斯基度量
  - §4．欧氏空间的最简单的变换群
    - 1．区域的变换群
    - 2．平面的变换
    - 3．三维欧氏空间的运动
    - 4．变换群的其他例子
  - §5．弗莱纳公式
    - 1．平面曲线
    - 2．空间曲线．曲率和挠率
    - 3．依赖于参数的正交变换
  - §6．伪欧几里得空间
    - 1．狭义相对论的最简单概念
    - 2．洛伦兹变换
- 第二章曲面论
  - §7．空间曲面的几何
    - 1．曲面上的坐标
    - 2．切平面
    - 3．曲面上的度量
    - 4．曲面的面积
  - §8．第二基本型
    - 1．欧氏空间中曲面上曲线的曲率
    - 2．二次型偶对的不变量
    - 3．第二基本型的性质
  - §9．球面的度量
  - §10．在伪欧氏空间中的类空曲面
    - 1．伪球面
    - 2．R31中类空曲面的曲率
  - §11．几何中的复语言
    - 1．复坐标和实坐标
    - 2．埃尔米特内积
    - 3．复变换群的例子
  - §12．解析函数
    - 1．长度元和函数微分的复表示
    - 2．复坐标变换
    - 3．复空间中的曲面
  - §13．曲面度量的共形形式
    - 1．等温坐标、共形坐标下的高斯曲率
    - 2．在共形形式下的球面度量和罗巴切夫斯基平面的度量
    - 3．常曲率曲面
  - §14．作为N维空间中的曲面变换群
    - 1．在单位元的邻域内的坐标
    - 2．矩阵的指数映射
    - 3．四元数
  - §15．高维欧氏空间和伪欧氏空间的共形变换
- 第三章张量．代数理论
  - §16．张量的例子
    - 1．数值函数的梯度
    - 2．黎受度量
  - §17．张量的一般定义
    - 1．任意阶张量的分量的变换规律
    - 2．张量的代数运算
  - §18．(o,k）型张量
    - 1．表下指标张量为微分形式
    - 2．(0,k)型反称张量
    - 3．微分形式的外积．外代数
    - 4．(k,0)型反称张量（多向量）．时于反交换变量的积分
  - §19. 黎曼和伪黎曼空间中的张量
    - 1．升标和降标
    - 2．二次型的特征值
    - *3．算子
    - 4．欧氏空间的张量
  - §20．晶体群和平面与空间旋转群的有限子群．不变张量的例子
  - §21．伪欧氏空间的二阶张量和它们的特征值
    - 1．反称张量．电磁场的不变量
    - 2．对称张量和特征值．电磁场的能量-动量张量
  - §22．在映射下张量的行为
    - 1. 具下指标的张量的一般限制运算
    - 2．切空间的映射
  - §23．向量场
    - 1．微分同胚的单参数群
    - 2．向量场的指数映射
    - 3．李导数．例子
  - §24．李代数
    - 1．李代数和向量场
    - 2．基本的矩阵李代数
    - 3．线性向量场
    - 4．变换群上的左不变向量场
    - 5．基灵度量
    - 6三维李代数的分类
    - 7．共形群的李代数
- 第四章张量的微分学
  - §25．反称张量的微分
    - 1．反称张量的梯度
    - 2．形式的外微分
  - §26．反称张量和积分理论
    - 1．微分形式的积分
    - 2．微分形式的例题
    - 3．广义斯托克斯公式．例题
    - 4．对立方体上的广义斯托克斯定理的证明
  - §27复空间中的微分形式
    - 1．算子d＇和d"
    - 2．凯勒度量．曲率形式
  - §28．共变微分
    - 1．欧氏联络
    - 2．任意阶张量的共变微分
  - §29共变微分和度量
    - 1．向量场的平行移动
    - 2．测地线
    - 3．与度量相容的联络
    - 4．与复结构相容的联络
  - §30．曲率张量
    - 1．一般曲率张量
    - 2．曲率张量的对称性．由度量产生的曲率张量
    - 3．例题：基灵度量下二维和三维空间的曲率张量
    - 4．彼得松-柯达齐方程．具常负曲率的曲面和“正弦-戈登”方程
- 第五章变分法原理
  - §31．一维变分问题
    - 1．欧拉-拉格朗日方程
    - 2．泛函的基本例子
  - §32．守恒定律
    - 1．保持某个变分问题不变的变换群
    - 2．几个例子．守恒定律的应用
  - §33．哈密顿体系
    - 1．勒让德变换
    - 2．活动坐标系
    - 3．莫佩尔蒂和费马原理．应用
  - §34．相空间的几何理论
    - 1．梯度系统
    - 2．泊松括号
    - 3．典则变换
  - §35．曲面的拉格朗日函数
    - 1．轨线把和哈密顿-稚可比方程
    - 2.作为动量的一阶齐次函数的哈密顿情形
  - §36．测地方程的二阶变分
    - 1．二阶变分公式
    - 2．共轭点和极小性条件
- 第六章高维变分问题．场及几何不变量
  - §37．最简单的高维变分问题
    - 1．欧拉-拉格朗日方程
    - 2．能量-动量张量
    - 3．电磁场方程
    - 4．引力场方程
    - 5．皂膜
    - 6．薄板的平衡方程
  - §38．拉格朗日的例子
  - §39．广义相对论的最简单概念
  - §40．群SO(3)和O(3,1)的旋量表示．狄拉克方程和它的性质
    - 1．矩阵代数的自同构
    - 2．群SO(3)的旋量表示
    - 3．洛伦兹群的旋量表示
    - 4．狄拉克方程
    - 5．电磁场的狄拉克方程．电荷的共轭算子
  - §41．具有任意对称性的场的共变微分
    - 1．度规变换．度规不变的拉格朗日
    - 2．曲率形式
    - 3．基本例子
  - §42．度规不变的泛函的例子．麦克斯韦和杨-米尔斯方程．具恒等于零的变分导数的泛函（示性类）
- 参考文献
- 索引

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