数学分析原理(第一卷)(第9版)

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目录
- 前辅文
- 第一章实数
  - §1.实数集合及其有序化
    - 1.前言
    - 2.无理数定义
    - 3.实数集合的有序化
    - 4.实数的无尽十进小数的表示法
    - 5.实数集合的连续性
    - 6.数集合的界
  - §2.实数的四则运算
    - 7.实数的和的定义及其性质
    - 8.对称数.绝对值
    - 9.实数的积的定义及其性质
  - §3.实数的其他性质及其应用
    - 10.根的存在性.具有有理指数的乘幂
    - 11.具有任何实指数的乘幂
    - 12.对数
    - 13.线段的测量
- 第二章一元函数
  - §1.函数概念
    - 14.变量
    - 15.变量的变域
    - 16.变量间的函数关系.例题
    - 17.两数概念的定义
    - 18.函数的解析表示法
    - 19.函数的图形
    - 20.以自然数为变元的函数
    - 21.历史的附注
  - §2.几类最重要的函数
    - 22.初等函数
    - 23.反函数的概念
    - 24.反三角函数
    - 25.函数的叠置.结束语
- 第三章极限论
  - §1.两数的极限
    - 26.历史的说明
    - 27.数列
    - 28.序列的极限定义
    - 29.无穷小量
    - 30.例
    - 31.无穷大量
    - 32.函数极限的定义
    - 33.函数极限的另一定义
    - 34.例
    - 35.单侧极限
  - §2.关于极限的定理
    - 36.具有有限的极限的自然数变元的函数的性质
    - 37.推广到任意变量的函数情形
    - 38.在等式与不等式中取极限
    - 39.关于无穷小量的引理
    - 40.变量的算术运算
    - 41.未定式
    - 42.推广到任意变量的函数情形
    - 43.例
  - §3.单调函数
    - 44.自然数变元的单调函数的极限
    - 45.例
    - 46.关于区间套的引理
    - 47.在一般情形下单调函数的极限
  - §4.数e
    - 48.数e看作序列的极限
    - 49.数e的近似计算法
    - 50.数e的基本公式.自然对数
    - 55.收敛原理
    - 51.部分序列
    - 52.以自然数为变元的函数存在有限极限的条件
    - 53.任意变元的函数存在有限极限的条件
  - §6.无穷小量与无穷大量的分类
    - 54.无穷小量的比较
    - 55.无穷小量的尺度
    - 56.等价的无穷小量
    - 57.无穷小量的主部的分离
    - 58.应用问题
    - 59.无穷大量的分类
- 第四章一元连续函数
  - §1.函数的连续性(与间断点)
    - 60.函数在一点处的连续性的定义
    - 61.单调两数的连续性条件
    - 62.连续函数的算术运算
    - 63.初等函数的连续性
    - 64.连续函数的叠置
    - 65.几个极限的计算
    - 66.幂指数表达式
    - 67.间断点的分类.例子
  - §2.连续函数的性质
    - 68.关于函数取零值的定理
    - 69.应用于解方程
    - 70.关于中间值的定理
    - 71.反函数的存在性
    - 72.关于函数的有界性的定理
    - 73.函数的最大值与最小值
    - 74.一致连续性的概念
    - 75.关于一致连续性的定理
- 第五章一元函数的微分法
  - §1.导数及其计算
    - 76.动点速度的计算问题
    - 77.作曲线的切线的问题
    - 78.导数的定义
    - 79.计算导数的例
    - 80.反函数的导数
    - 81.导数公式汇集
    - 82.函数增量的公式
    - 83.计算导数的几个最简单法则
    - 84.复合函数的导数
    - 85.例
    - 86.单侧导数
    - 87.无穷导数
    - 88.特殊情况的例子
  - §2.微分
    - 89.微分的定义
    - 90.可微性与导数存在之间的关系
    - 91.微分的基本公式及法则
    - 92.微分形式的不变性
    - 93.微分作为近似公式的来源
    - 94.微分在估计误差中的应用
  - §3.高阶导数及高阶微分
    - 95.高阶导数的定义
    - 96.任意阶导数的普遍公式
    - 97.莱布尼茨公式
    - 98.高阶微分
    - 99.高阶微分形式不变性的破坏
- 第六章微分学的基本定理
  - §1.中值定理
    - 100.费马定理
    - 101.罗尔定理
    - 102.有限增量定理
    - 103.导数的极限
    - 104.有限增量定理的推广
  - §2.泰勒公式
    - 105.多项式的泰勒公式
    - 106.任意函数的展开式
    - 107.余项的其他形式
    - 108.已得的公式在初等函数上的应用
    - 109.近似公式.例
- 第七章应用导数来研究函数
  - §1.函数的变化过程的研究
    - 110.函数为常数的条件
    - 111.函数为单调的条件
    - 112.极大及极小.必要条件
    - 113.第一法则
    - 114.第二法则
    - 115.函数的作图
    - 116.例
    - 117.高阶导数的应用
  - §2.函数的最大值及最小值
    - 118.最大值及最小值的求法
    - 119.问题
  - §3.未定式的定值法
    - 120.0/0型未定式
    - 121.∞/∞型未定式
    - 122.其他类型的未定式
- 第八章多元函数
  - §1.基本概念
    - 123.变量之间的函数关系.例
    - 124.二元函数及其定义区域
    - 125.m维算术空间
    - 126.m维空间中的区域举例
    - 127.开区域及闭区域的一般定义
    - 128.m元函数
    - 129.多元函数的极限
    - 130.例
    - 131.累次极限
  - §2.连续函数
    - 132.多元函数的连续性及间断
    - 133.连续函数的运算
    - 134.关于函数取零值的定理
    - 135.波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理
    - 136.关于函数有界性的定理
    - 137.一致连续性
- 第九章多元函数的微分学
  - §1.多元函数的导数与微分
    - 138.偏导数
    - 139.函数的全增量
    - 140.复合函数的导数
    - 141.例
    - 142.全微分
    - 143.一阶微分形式的不变性
    - 144.全微分在近似计算中的应用
    - 145.齐次函数
  - §2.高阶导数与高阶微分
    - 146.高阶导数
    - 147.关于混合导数的定理
    - 148.高阶微分
    - 149.复合函数的微分
    - 150.泰勒公式
  - §3.极值、最大值与最小值
    - 151.多元函数的极值.必要条件
    - 152.静止点的研究(二元函数的情况)
    - 153.函数的最大值与最小值.例子
    - 154.问题
- 第十章原函数(不定积分)
  - §1.不定积分及其最简单的计算法
    - 155.原函数概念(及不定积分概念)
    - 156.积分与求面积问题
    - 157.基本积分表
    - 158.最简单的积分法则
    - 159.例
    - 160.换元积分法
    - 161.例
    - 162.分部积分法
    - 163.例
  - §2.有理式的积分
    - 164.有限形式积分法问题的提出
    - 165.简单分式及其积分
    - 166.真分式的积分
    - 167.奥斯特罗格拉茨基的积分有理部分分出法
  - §3.某些根式的积分法
    - 168.型根式的积分法
    - 169.二项式微分的积分法
    - 170.型根式的积分法.欧拉替换法
  - §4.含有三角函数及指数函数的式子的积分法
    - 171.微分式R(sinx, cosx)dx的积分法
    - 172.其他情形概述
  - §5.椭圆积分
    - 173.定义
    - 174.化为典式
- 第十一章定积分
  - §1.定积分定义及存在条件
    - 175.解决面积问题的另一途径
    - 176.定义
    - 177.达布和
    - 178.积分存在条件
    - 179.可积函数类别
  - §2.定积分性质
    - 180.依有向区间的积分
    - 181.可用等式表出的性质
    - 182.可用不等式表出的性质
    - 183.定积分作为上限的函数
  - §3.定积分的计算及变换
    - 184.用积分和的计算
    - 185.积分学基本公式
    - 186.定积分中变量替换公式
    - 187.定积分的分部积分法
    - 188.沃利斯公式
  - §4.积分的近似计算
    - 189.梯形公式
    - 190.抛物线公式
    - 191.近似公式的余项
    - 192.例
- 第十二章积分学的几何应用及力学应用
  - §1.面积及体积
    - 193.面积概念的定义.可求积区域
    - 194.面积的可加性
    - 195.面积作为极限
    - 196.以积分表出面积
    - 197.体积概念的定义及其性质
    - 198.以积分表出体积
  - §2.弧长
    - 199.弧长概念的定义
    - 200.引理
    - 201.以积分表出弧长
    - 202.变弧及其微分
    - 203.空间曲线的弧长
  - §3.力学及物理上的数量的计算
    - 204.定积分应用程式
    - 205.旋转面面积
    - 206.曲线的静矩及质心的求法
    - 207.平面图形的静矩及质心的求法
    - 208.力功
- 第十三章微分学的一些几何应用
  - §1.切线及切面
    - 209.平面曲线的解析表示法
    - 210.平面曲线的切线
    - 211.切线的正方向
    - 212.空间曲线
    - 213.曲面的切面
  - §2.平面曲线的曲率
    - 214.四凹向.拐点
    - 215.曲率概念
    - 216.曲率圆及曲率半径
- 第十四章数学分析基本观念发展简史
  - §1.微积分前史
    - 217.17世纪与无穷小分析
    - 218.不可分素方法
    - 219.不可分素学说的进一步发展
    - 220.求最大及最小(极大极小).切线作法
    - 221.借助运动学想法来作切线
    - 222.切线作法问题与求积问题的互逆性
    - 223.上述的总结
  - §2.依萨克.牛顿(Isaac Newton, 1642--1727)
    - 224.流数计算法
    - 225.流数计算法的逆计算法.求积
    - 226.牛顿的“原理”及极限理论的萌芽
    - 227.牛顿的奠基问题
  - §3.莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)
    - 228.建立新计算法的初步
    - 229.最先刊行的微分学著作
    - 230.最先刊行的积分学著作
    - 231.莱布尼茨的其他著作.学派的建立
    - 232.莱布尼茨的奠基问题
    - 233.结尾语
- 索引

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