本书是作者在莫斯科大学力学--数学系讲授多遍数学分析的基础上写成的. 本书自1981 年第1 版出版以来,至今已经修订为第~4 版. 在内容方面,作者力图使与其平行的以及后继的分析、代数和几何方面的现代数学课程之间联系更加紧密, 把重点移到一般数学中最有本质意义的那些概念和方法上,并改进语言的叙述, 使之与现代数学科学文献的语言适当 接近; 另一方面,在保持数学一般理论叙述严谨性的同时,对反映其自然科学源泉和应用的要求也有充分体现.
全书共二卷, 第二卷的内容包括:连续映射的一般理论、赋范空间中的微分学、重积分、Rn中的曲面和微分形式、曲线积分和曲面积分、向量分析与场论、流形上微分形式的积分法、级数和含参变量函数族的一致收敛性及基本分析运算、含参变量积分、傅里叶级数与傅里叶变换、渐近展开等.与常见的分析教科书相比, 本卷的内容相当新颖,系统地引进了现代数学~(包括泛函分析、拓扑学和现代微分几何等)的基本概念、思想和方法, 有关应用的内容也更加贴近现代自然科学.
本书可供综合大学和师范大学数学、物理、力学及相关专业的教师和学生参考使用,工科大学应用数学系 也可当作教材或主要参考书.
- 前辅文
- 第九章 连续映射(一般理论)
- 1 度量空间
- 1.1 定义和例子
- 1.2 度量空间中的开集和闭集
- 1.3 度量空间的子空间
- 1.4 度量空间的直积
- 练习
- 2 拓扑空间
- 2.1 基本定义
- 2.2 拓扑空间的子空间
- 2.3 拓扑空间的直积
- 练习
- 3 紧集
- 4 连通的拓扑空间
- 5 完备的度量空间
- 5.1 基本定义和例子
- 5.2 度量空间的完备化
- 练习
- 6 拓扑空间的连续映射
- 7 压缩映像原理
- 第十章 线性赋范空间中的微分学
- 1 线性赋范空间
- 1.1 分析中一些线性空间的例子
- 1.2 线性空间中的范数
- 1.3 向量空间中的数量积
- 练习
- 2 线性和多重线性算子
- 2.1 定义和例子
- 2.2 算子的范数
- 2.3 连续算子空间
- 练习
- 3 映射的微分
- 3.1 在一点可微的映射
- 3.2 微分法的一般法则
- 3.3 一些例子
- 3.4 映射的偏导数
- 练习
- 4 有限增量定理和它的应用的一些例子
- 4.1 有限增量定理
- 4.2 有限增量定理应用的一些例子
- 练习
- 5 高阶导映射
- 5.1 n 阶微分的定义
- 5.2 沿向量的导数和 n 阶微分的计算
- 5.3 高阶微分的对称性
- 5.4 若干评注
- 练习
- 6 泰勒公式和极值的研究
- 6.1 映射的泰勒公式
- 6.2 内部极值的研究
- 6.3 一些例子
- 练习
- 7 一般的隐函数定理
- 第十一章 重积分
- 1 n维区间上的黎曼积分
- 1.1 积分定义
- 1.2 函数黎曼可积的勒贝格准则
- 1.3 达布准则
- 练习
- 2 集合上的积分
- 2.1 容许集
- 2.2 集合上的积分
- 2.3 容许集的测度(体积)
- 练习
- 3 积分的一般性质
- 3.1 作为线性泛函的积分
- 3.2 积分的可加性
- 3.3 积分的估计
- 练习
- 4 化重积分为累次积分
- 5 重积分中的变量替换
- 5.1 问题的提出和变量替换公式的预期结论
- 5.2 可测集和光滑映射
- 5.3 一维情形
- 5.4 R ^n 中最简微分同胚的情形
- 5.5 映射的复合和变量替换公式
- 5.6 积分的可加性和积分变量替换公式证明的完成
- 5.7 重积分变量替换公式的一些推论和推广
- 练习
- 6 反常重积分
- 6.1 基本定义
- 6.2 反常积分收敛性的控制判别法
- 6.3 反常积分中的变量替换
- 练习
- 第十二章 R ^n中的曲面及微分形式
- 1 R ^n中的曲面
- 2 曲面的定向
- 3 曲面的边界及其定向
- 3.1 带边曲面
- 3.2 曲面定向与边界定向的和谐性
- 练习
- 4 欧氏空间内曲面的面积
- 5 微分形式初步
- 5.1 微分形式, 定义及例子
- 5.2 微分形式的坐标记法
- 5.3 外微分形式
- 5.4 在映射下, 向量的转移与形式的转移
- 5.5 曲面上的形式
- 练习
- 第十三章 曲线积分与曲面积分
- 1 微分形式的积分
- 1.1 原始问题, 启发性想法, 例子
- 1.2 形式沿定向曲面积分的定义
- 练习
- 2 体积形式, 第一型积分与第二型积分
- 2.1 物质曲面的质量
- 2.2 作为形式的积分的曲面面积
- 2.3 体积形式
- 2.4 在笛卡儿坐标下体积形式的表示
- 2.5 第一型与第二型积分
- 练习
- 3 分析的基本积分公式
- 3.1 格林公式
- 3.2 高斯-- 奥斯特罗格拉德斯基公式
- 3.3 R ^3中的斯托克斯公式
- 3.4 一般的斯托克斯公式
- 练习
- 第十四章 向量分析与场论初步
- 1 向量分析的微分运算
- 1.1 数量场与向量场
- 1.2 R ^3中的向量场与形式
- 1.3 微分算子grad,rot,div及 nabla
- 1.4 向量分析的一些微分公式
- * 5. 曲线坐标下的向量运算
- 练习
- 2 场论的积分公式
- 2.1 用向量表示的经典积分公式
- 2.2 div,rot,grad 的物理解释
- 2.3 一些进一步的积分公式
- 练习
- 3 势场
- 3.1 向量场的势
- 3.2 势场的必要条件
- 3.3 向量场具有势的判别准则
- 3.4 区域的拓扑结构与势
- 3.5 向量势､恰当形式与闭形式
- 练习
- 4 应用例子
- 4.1 热传导方程
- 4.2 连续性方程
- 4.3 连续介质动力学基本方程
- 4.4 波动方程
- 练习
- * 第十五章 流形上微分形式的积分
- 1 线性代数准备知识
- 1.1 形式代数
- 1.2 斜对称形式代数
- 1.3 线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射
- 练习
- 2 流形
- 2.1 流形的定义
- 2.2 光滑流形与光滑映射
- 2.3 流形及其边界的定向
- 2.4 单位分解及流形以R ^n 中曲面的形式的实现
- 练习
- 3 微分形式及其在流形上的积分
- 3.1 流形在其一点的切空间
- 3.2 流形上的微分形式
- 3.3 外微分
- 3.4 形式在流形上的积分
- 3.5 斯托克斯公式
- 练习
- 4 流形上的闭形式与恰当形式
- 第十六章 一致收敛性, 函数项级数与函数族的基本分析运算
- 1 逐点收敛与一致收敛
- 1.1 逐点收敛
- 1.2 基本问题的提出
- 1.3 依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性
- 1.4 一致收敛的柯西准则
- 练习
- 2 函数项级数的一致收敛性
- 2.1 级数一致收敛性的基本定义和判别准则
- 2.2 级数一致收敛的魏尔斯特拉斯检验法
- 2.3 阿贝尔-- 狄利克雷检验法
- 练习
- 3 极限函数的函数性质
- 3.1 问题的具体化
- 3.2 两个极限过程可交换的条件
- 3.3 连续性与极限过渡
- 3.4 积分法与极限过渡
- 3.5 微分法与极限过渡
- 练习
- *4 连续函数空间的紧子集和稠密子集
- 3.1 阿尔采拉-- 阿斯柯利定理
- 3.2 度量空间 C(K,Y)
- 3.3 斯通定理
- 练习
- 第十七章 含参变量的积分
- 1 含参变量的常义积分
- 1.1 含参变量积分的概念
- 1.2 含参变量积分的连续性
- 1.3 含参变量积分的微分法
- 1.4 含参变量积分的积分法
- 练习
- 2 含参变量的反常积分
- 2.1 反常积分关于参数的一致收敛性
- 2.2 反常积分号下取极限和含参变量的反常积分的连续性
- 2.3 含参变量的反常积分的微分法
- 2.4 含参变量的反常积分的积分法
- 练习
- 3 欧拉积分
- 3.1 ß函数
- 3.2 г函数
- 3.3 ß函数和г函数的联系
- 3.4 一些例子
- 练习
- 4 函数的卷积和广义函数的初步知识
- 4.1 物理问题中的卷积(启发性想法)
- 4.2 卷积的一些一般性质
- 4.3 ß- 型函数族和魏尔斯特拉斯逼近定理
- * 4. 分布的初步概念
- 练习
- 5 含参变量的重积分
- 5.1 含参变量的常义重积分
- 5.2 含参变量的反常重积分
- 5.3 具变奇异性的反常积分
- * 4. 高维情形的卷积, 基本解和广义函数
- 练习
- 第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换
- 1 一些主要的与傅里叶级数有关的一般概念
- 1.1 正交函数系
- 1.2 傅里叶系数和傅里叶级数
- * 3. 分析中正交函数系的一个重要来源
- 练习
- 2 傅里叶三角级数
- 2.1 经典傅里叶级数收敛性的基本形式
- 2.2 傅里叶三角级数逐点收敛性的研究
- 2.3 函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度
- 2.4 三角函数系的完全性
- 练习
- 3 傅里叶变换
- 3.1 函数的傅里叶积分表示
- 3.2 函数的微分性质和渐近性质与其傅里叶变换的联系
- 3.3 傅里叶变换的最重要的演算性质
- 3.4 应用举例
- 练习
- 第十九章 渐近展开
- 1 渐近公式和渐近级数
- 1.1 基本定义
- 1.2 渐近级数的一般知识
- 1.3 渐近幂级数
- 练习
- 2 渐近积分(拉普拉斯方法)
- 2.1 拉普拉斯方法的基本思想
- 2.2 拉普拉斯积分的局部化原理
- 2.3 典型积分及其渐近式
- 2.4 拉普拉斯积分的渐近主项
- * 5. 拉普拉斯积分的渐近展开
- 练习
- 口试提纲
- 考试大纲
- 参考文献
- 基本符号索引
- 索引
- 补序
- 中文版修订者的话
