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微积分学教程(第一卷)(第8版)

高等教育百门精品课程精品项目

作者:
菲赫金哥尔茨
定价:
45.00 元
版面字数:
690千字
开本:
16开
装帧形式:
平装
版次:
3
最新版次
印刷时间:
2017年
ISBN:
978-7-04-018303-0
物料号:
18303-A0
出版时间:
2005-12-15
读者对象:
学术著作
一级分类:
自然科学
二级分类:
数学与统计
三级分类:
分析

《微积分学教程(第1卷)(第8版)》是一部卓越的数学科学与教育著作。自第一版问世50多年来,本书多次再版。至今仍被俄罗斯的综合大学以及技术和师范院校选作数学分析课程的基本教材之一。并被翻译成多种文字,在世界范围内广受欢迎。

本书所包括的主要内容是在20世纪初最后形成的现代数学分析的经典部分。本书第一卷包括实变量一元与多元微分学及其基本应用;第二卷研究黎曼积分理论与级数理论;第三卷研究多重积分、曲线积分、曲面积分、斯蒂尔吉斯积分、傅里叶级数与傅里叶变换。

本书的特点是:一、含有大量例题与应用实例;二、材料的叙述通俗、详细和准确;三、在极少使用集合论的(包括记号)同时保持了叙述的全部严格性,以便读者容易初步掌握本课程的内容。

本书可供各级各类高等学校的数学分析与高等数学课程作为教学参考书,是数学分析教师极好的案头用书。

  • 目录
    • 前辅文
      • 绪论 实数
        • 1.有理数域
          • 前言
            • 有理数域的序
              • 有理数的加法及减法
                • 有理数的乘法及除法
                  • 阿基米德公理
                  • 2.无理数的导入·实数域的序
                    • 无理数的定义
                      • 实数域的序
                        • 辅助命题
                          • 用无限小数来表示实数
                            • 实数域的连续性
                              • 数集的界
                              • 3.实数的算术运算
                                • 实数的和的定义
                                  • 加法的性质
                                    • 实数的积的定义
                                      • 乘法的性质
                                        • 结论
                                          • 绝对值
                                          • 4.实数的其他性质及应用
                                            • 根的存在•以有理数为指数的幂
                                              • 以任意实数为指数的幂
                                                • 对数
                                                  • 线段的度量
                                                • 第一章 极限论
                                                  • 1.整序变量及其极限
                                                    • 变量、整序变量
                                                      • 整序变量的极限
                                                        • 无穷小量
                                                          • 例题
                                                            • 关于有极限的整序变量的一些定理
                                                              • 无穷大量
                                                              • 2.极限的定理•若干容易求得的极限
                                                                • 对等式及不等式取极限
                                                                  • 关于无穷小的引理
                                                                    • 变量的算术运算
                                                                      • 不定式
                                                                        • 极限求法的例题
                                                                          • 斯托尔茨(O.Stolz)定理及其应用
                                                                          • 3.单调整序变量
                                                                            • 单调整序变量的极限
                                                                              • 例题
                                                                                • 数e
                                                                                  • 数e的近似计算法
                                                                                    • 关于区间套的引理
                                                                                      • 收敛原理•部分极限
                                                                                        • 收敛原理
                                                                                          • 部分数列及部分极限
                                                                                            • 布尔查诺-魏尔斯特拉斯(B.Bolzano-C.Weierstrass)引理
                                                                                              • 上极限及下极限
                                                                                            • 第二章 一元函数
                                                                                              • 1.函数概念
                                                                                                • 变量及其变动区域
                                                                                                  • 变量间的函数关系,例题
                                                                                                    • 函数概念的定义
                                                                                                      • 函数的解析表示法
                                                                                                        • 函数的图像
                                                                                                          • 几类最重要的函数
                                                                                                            • 反函数的概念
                                                                                                              • 反三角函数
                                                                                                                • 函数的叠置.总结
                                                                                                                • 2.函数的极限
                                                                                                                  • 函数的极限的定义
                                                                                                                    • 变成整序变量的情形
                                                                                                                      • 例题
                                                                                                                        • 极限理论的拓广
                                                                                                                          • 例题
                                                                                                                            • 单调函数的极限
                                                                                                                              • 布尔查诺-柯西的一般判定法
                                                                                                                                • 函数的上极限及下极限
                                                                                                                                • 3.无穷小及无穷大的分阶
                                                                                                                                  • 无穷小的比较
                                                                                                                                    • 无穷小的尺度
                                                                                                                                      • 等价无穷小
                                                                                                                                        • 主部的分出
                                                                                                                                          • 应用题
                                                                                                                                            • 无穷大的分阶
                                                                                                                                            • 4.函数的连续性及间断
                                                                                                                                              • 函数在一点处的连续性的定义
                                                                                                                                                • 连续函数的算术运算
                                                                                                                                                  • 连续函数的例题
                                                                                                                                                    • 单侧连续•间断的分类
                                                                                                                                                      • 间断函数的例题
                                                                                                                                                        • 单调函数的连续性及间断
                                                                                                                                                          • 初等函数的连续性
                                                                                                                                                            • 连续函数的叠置
                                                                                                                                                              • 一个函数方程的解
                                                                                                                                                                • 指数函数、对数函数及幂函数的函数特性
                                                                                                                                                                  • 三角余弦及双曲余弦的函数特性
                                                                                                                                                                    • 函数的连续性在计算极限时的应用
                                                                                                                                                                      • 幂指数式
                                                                                                                                                                        • 例题
                                                                                                                                                                        • 5.连续函数的性质
                                                                                                                                                                          • 关于函数取零值的定理
                                                                                                                                                                            • 应用于解方程
                                                                                                                                                                              • 介值定理
                                                                                                                                                                                • 反函数的存在
                                                                                                                                                                                  • 关于函数的有界性的定理
                                                                                                                                                                                    • 函数的最大值及最小值
                                                                                                                                                                                      • 一致连续的概念
                                                                                                                                                                                        • 康托定理
                                                                                                                                                                                          • 博雷尔引理
                                                                                                                                                                                            • 基本定理的新证明
                                                                                                                                                                                          • 第三章 导数及微分
                                                                                                                                                                                            • 1.导数及其求法
                                                                                                                                                                                              • 求动点速度的问题
                                                                                                                                                                                                • 在曲线上作切线的问题
                                                                                                                                                                                                  • 导数的定义
                                                                                                                                                                                                    • 求导数的例题
                                                                                                                                                                                                      • 反函数的导数
                                                                                                                                                                                                        • 导数公式一览表
                                                                                                                                                                                                          • 函数的增量的公式
                                                                                                                                                                                                            • 求导数的几个简单法则
                                                                                                                                                                                                              • 复合函数的导数
                                                                                                                                                                                                                • 例题
                                                                                                                                                                                                                  • 单侧导数
                                                                                                                                                                                                                    • 无穷导数
                                                                                                                                                                                                                      • 特殊情形的例题
                                                                                                                                                                                                                      • 2.微分
                                                                                                                                                                                                                        • 微分的定义
                                                                                                                                                                                                                          • 可微性与导数存在之间的关系
                                                                                                                                                                                                                            • 微分法的基本公式及法则
                                                                                                                                                                                                                              • 微分的形式不变性
                                                                                                                                                                                                                                • 微分是近似公式的来源
                                                                                                                                                                                                                                  • 应用微分来估计误差
                                                                                                                                                                                                                                  • 3.微分学的基本定理
                                                                                                                                                                                                                                    • 费马定理
                                                                                                                                                                                                                                      • 达布(G.Darboux)定理
                                                                                                                                                                                                                                        • 罗尔定理
                                                                                                                                                                                                                                          • 拉格朗日公式
                                                                                                                                                                                                                                            • 导数的极限
                                                                                                                                                                                                                                              • 柯西公式
                                                                                                                                                                                                                                              • 4.高阶导数及高阶微分
                                                                                                                                                                                                                                                • 高阶导数的定义
                                                                                                                                                                                                                                                  • 任意阶导数的普遍公式
                                                                                                                                                                                                                                                    • 莱布尼茨公式
                                                                                                                                                                                                                                                      • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                        • 高阶微分
                                                                                                                                                                                                                                                          • 高阶微分的形式不变性的破坏
                                                                                                                                                                                                                                                            • 参变量微分法
                                                                                                                                                                                                                                                              • 有限差分
                                                                                                                                                                                                                                                              • 5.泰勒公式
                                                                                                                                                                                                                                                                • 多项式的泰勒公式
                                                                                                                                                                                                                                                                  • 任意函数的展开式•余项的佩亚诺式
                                                                                                                                                                                                                                                                    • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                      • 余项的其他形式
                                                                                                                                                                                                                                                                        • 近似公式
                                                                                                                                                                                                                                                                        • 6.插值法
                                                                                                                                                                                                                                                                          • 插值法的最简单问题•拉格朗日公式
                                                                                                                                                                                                                                                                            • 拉格朗日公式的余项
                                                                                                                                                                                                                                                                              • 有重结点的插值法•埃尔米特公式
                                                                                                                                                                                                                                                                            • 第四章 利用导数研究函数
                                                                                                                                                                                                                                                                              • 1.函数的动态的研究
                                                                                                                                                                                                                                                                                • 函数为常数的条件
                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 函数为单调的条件
                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 不等式的证明
                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 极大值及极小值•必要条件
                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 充分条件•第一法则
                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 第二法则
                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 高阶导数的应用
                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 最大值及最小值的求法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 应用题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 2.凸(与凹)函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 凸(与凹)函数的定义
                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 关于凸函数的简单命题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 函数凸性的条件
                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 詹森不等式及其应用
                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 拐点
                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 3.函数的作图
                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 问题的提出
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 作图的步骤•例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 无穷间断•无穷区间•渐近线
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 4.不定式的定值法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 0/0型不定式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • ∞/∞型不定式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 其他型的不定式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 5.方程的近似解
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 导言
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 比例法则(弦线法)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 牛顿法则(切线法)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 例题及习题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 联合法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 例题及习题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 第五章 多元函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 1.基本概念
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 变量之间的函数关系•例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 二元函数及其定义域
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • n维算术空间
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • n维空间内的区域举例
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 开域及闭域的一般定义
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • n元函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 多元函数的极限
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 变成整序变量的情形
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 累次极限
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 2.连续函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 多元函数的连续性及间断
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 连续函数的运算
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 在域内连续的函数•布尔查诺-柯西定理
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 布尔查诺-魏尔斯特拉斯引理
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 魏尔斯特拉斯定理
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 一致连续性
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 博雷尔引理
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 基本定理的新证明
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 3.多元函数的导数及微分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 偏导数及偏微分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 函数的全增量
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 全微分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 二元函数的几何说明
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 复合函数的导数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 有限增量公式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 沿给定方向的导数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • (一阶)微分的形式不变性
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 应用全微分于近似算法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 齐次函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 欧拉公式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 4.高阶导数及高阶微分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 高阶导数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 关于混合导数的定理
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 推广到一般情形
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 复合函数的高阶导数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 高阶微分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 复合函数的微分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 泰勒公式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 5.极值•最大值及最小值
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 多元函数的极值•必要条件
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 充分条件(二元函数的情形)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 充分条件(一般情形)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 极值不存在的条件
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 函数的最大值及最小值•例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 应用问题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 第六章 函数行列式及其应用
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 1.函数行列式的性质
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 函数行列式(雅可比式)的定义
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 雅可比式的乘法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 函数矩阵(雅可比矩阵)的乘法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 2.隐函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 一元隐函数的概念
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 隐函数的存在
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 隐函数的可微性
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 多元的隐函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 隐函数导数的求法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 3.隐函数理论的一些应用
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 相对极值
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 拉格朗日不定乘数法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 相对极值的充分条件
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 例题及应用题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 函数的独立性的概念
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 雅可比矩阵的秩
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 4.换元法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 一元函数
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 多元函数•自变量的变换
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 微分的求法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 换元的一般情形
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 第七章 微分学在几何上的应用
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 1.曲线及曲面的解析表示法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 平面曲线(直角坐标系)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 机械性产生的曲线
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 平面曲线(极坐标系)cdot例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 空间的曲面和曲线
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 参变量表示式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 2.切线及切面
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 用直角坐标系时平面曲线的切线
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 用极坐标系时的切线
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 空间曲线的切线•曲面的切面
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 平面曲线的奇异点
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 曲线用参变量表示式的情形
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 3.曲线的相切
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 曲线族的包络
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 特征点
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 二曲线相切的阶
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 曲线之一用隐式表示的情形
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 密切曲线
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 密切曲线的另一求法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 4.平面曲线的长
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 引理
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 曲线的方向
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 曲线的长•弧长的可加性
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 可求长的充分条件•弧的微分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 用弧作为参变量•切线的正向
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 5.平面曲线的曲率
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 曲率的概念
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 曲率圆及曲率半径
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 例题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 曲率中心的坐标
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      • 渐屈线及渐伸线的定义;渐屈线的求法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 渐屈线及渐伸线的性质
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 渐伸线的求法
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        • 附录 函数扩充的问题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          • 一元函数的情形
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            • 关于二维空间的问题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              • 辅助命题
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                • 关于扩充的基本定理
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  • 推广到一般情况
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 总结
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    • 索引
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      相关图书