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微分学

样章
作者：
余家荣 译
定价：
59.00元
ISBN：
978-7-04-025156-2
版面字数：
460.000千字
开本：
16开
全书页数：
336页
装帧形式：
平装
重点项目：
暂无
出版时间：
2009-04-20
读者对象：
学术著作
一级分类：
自然科学
二级分类：
数学与统计
三级分类：
分析

《微分学》是H．嘉当根据他在20世纪五、六十年代所授课程编写的。书中讲述了巴拿赫空间中的微分学、微分方程及微分形式，还讲述了变分学原理与活动标架 法及对曲线和曲面论的应用。该书包含了数学的一些纯粹分支和应用分支；正文由许多例子阐明，并且每一部分都包含一些程度不同的习题。

《微分学》可部分地采用为数学与应用数学专业大学本科生或研究生教材，也可供广大数学工作者及学生参考。

  • 前辅文
  • 上篇 微分学
    • 第一章 巴拿赫空间中的微分学
      • 1. 关于巴拿赫空间及连续线性映射概念的回顾
        • 1.1. 向量空间E上的范数
        • 1.2. 巴拿赫空间的例子
        • 1.3. 巴拿赫空间中的正规收敛级数
        • 1.4. 连续线性映射
        • 1.5. 连续线性映射的复合
        • 1.6. 赋范向量空间的同构
        • 1.7. 空间(E
        • 1.8. 连续多重线性映射
        • 1.9. 自然等距映射
      • 2. 可微映射
        • 2.1. 可微映射的定义
        • 2.2. 复合映射的导出映射
        • 2.3. 导出映射的线性
        • 2.4. 特殊映射的导出映射
        • 2.5. 在几个巴拿赫空间的积中取值的映射
        • 2.6. U是几个巴拿赫空间的积中开集情形
        • 2.7. 2.5 及2.6 段中所研究情形的组合
        • 2.8. 最后的注记: R 可微性及C 可微性的比较
      • 3. 有限增量定理
        • 3.1. 主要定理的叙述
        • 3.2. 主要定理的特殊情形
        • 3.3. 变量在巴拿赫空间中的有限增量定理
        • 3.4. 有限增量定理续论
        • 3.5. 习题
        • 3.6. 有限增量定理的第一种应用: 可微映射序列的收敛性
        • 3.7. 有限增量定理的第二种应用: 偏可微性与可微性之间的关系
        • 3.8. 有限增量定理的第三种应用: 严格可微映射概念
      • 4. C^1类映射的局部反演. 隐映射定理
        • 4.1. C^1类的微分同胚
        • 4.2. 局部反演定理
        • 4.3. 局部反演定理的证明: 第一步化简
        • 4.4. 命题4.3.1 的证明
        • 4.5. 定理4.4.1 的证明
        • 4.6. 有限维情形下的局部反演定理
        • 4.7. 隐映射定理
      • 5. 高阶导出映射
        • 5.1. 二阶导出映射
        • 5.2. E是乘积空间E1×En情形
        • 5.3. 逐阶导出映射
        • 5.4. n次可微映射的例子
        • 5.5. 泰勒公式: 特别情形
        • 5.6. 泰勒公式: 一般情形
      • 6. 多项式
        • 6.1. n次齐次多项式
        • 6.2. 不一定齐次的多项式
        • 6.3. 多项式的逐次``差分''
        • 6.4. E及F是赋范向量空间情形
      • 7. 有限展开式
        • 7.1. 定义
        • 7.2. f在点a处n次可微情形
        • 7.3. 有限展开式的运算
        • 7.4. 两个有限展开式的复合
        • 7.5. 计算复合映射的逐阶导出映射
      • 8. 相对极大与极小
        • 8.1. 相对极小的第一个必要条件
        • 8.2. 相对极小的二阶条件
        • 8.3. 严格相对极小的充分条件
      • 习题
    • 第二章 微分方程
      • 1. 定义与基本定理
        • 1.1. 一阶微分方程
        • 1.2. n阶微分方程
        • 1.3. 近似解
        • 1.4. 例: 线性微分方程
        • 1.5. 李普希茨情形: 基本引理
        • 1.6. 基本引理的应用: 唯一性定理
        • 1.7. 李普希茨情形下的存在定理
        • 1.8. f是局部李普希茨情形
        • 1.9. 线性微分方程情形
        • 1.10. 对初始值的依赖性
        • 1.11. 微分方程依赖于一个参变量情形
      • 2. 线性微分方程
        • 2.1. 通解的形式
        • 2.2. 齐次线性方程研究
        • 2.3. E有有限维情形
        • 2.4. ``带右端项的'' 线性方程
        • 2.5. n阶齐次线性微分方程情形
        • 2.6. ``带右端项的''n阶线性微分方程
        • 2.7. 常系数线性微分方程
        • 2.8. 常系数方程:E有有限维情形
        • 2.9. 常系数n阶线性微分方程
      • 3. 一些问题
        • 3.1. 含一个参变量的线性自同构群
        • 3.2. 含一个参变量之群的芽
        • 3.3. 可微性问题
        • 3.4. 可微性问题(续): 对初始值u的可微性
        • 3.5. 定理3.4.2 的证明
        • 3.6. 对微分方程所含一个参变量的可微性
        • 3.7. 高阶可微性
        • 3.8. 二阶微分方程情形
        • 3.9. 不含自变量的微分方程
        • 3.10. ``未解出的'' 微分方程
      • 4. 首次积分与线性偏微分方程
        • 4.1. 微分方程组的首次积分的定义
        • 4.2. 首次积分的存在性
        • 4.3. 非齐次线性偏微分方程
        • 4.4. 例
      • 习题
  • 下编 微分形式
    • 第一章 微分形式
      • 1. 交错多重线性映射
        • 1.1. 交错多重线性映射的定义
        • 1.2. 排列群
        • 1.3. 交错多重线性映射的性质
        • 1.4. 交错多重线性映射的乘法
        • 1.5. 外乘法的性质
        • 1.6. n个线性形式的外乘积
        • 1.7. E有有限维情形
      • 2. 微分形式
        • 2.1. 微分形式的定义
        • 2.2. 微分形式的运算
        • 2.3. 外微分的运算
        • 2.4. 外微分运算的性质
        • 2.5. 外微分的基本性质
        • 2.6. 有限维空间上的微分形式
        • 2.7. 按典范写出的微分形式的算法
        • 2.8. 微分形式中的变量代换
        • 2.9. 变量代换中映射ϕ∗的性质
        • 2.10. 按典范写出的ϕ∗的计算
        • 2.11. 变量代换的可递性
        • 2.12. 微分形式等于dα的条件
        • 2.13. 庞加莱定理的证明
      • 3. 一次微分形式的线积分
        • 3.1. C^1类道路
        • 3.2. 线积分
        • 3.3. 参变量代换
        • 3.4. ω是映射的微分情形
        • 3.5. 一次闭微分形式
        • 3.6. 闭形式沿一条道路的原映射
        • 3.7. 两条道路的同伦
        • 3.8. 单连通开集
      • 4. 次数>1的微分形式的积分
        • 4.1. 单位的可微分解
        • 4.2. 平面R ^2中带边界的紧集
        • 4.3. 微分2 形式在带边界的紧集K上的积分
        • 4.4. 平面上的斯托克斯定理
        • 4.5. 定理4.4.1(斯托克斯定理) 的证明
        • 4.6. 重积分中的变量代换
        • 4.7. 空间R ^n中的流形
        • 4.8. 流形的定向
        • 4.9. 微分2 形式在C^1类2 维定向紧流形上的积分
        • 4.10. n重积分
        • 4.11. 在流形M ⊂ Rn上的微分形式
        • 4.12. p维流形M(M ⊂ Rn)的 p维体积元素
      • 5. 流形上数值函数的极大与极小
        • 5.1. 第一阶条件
        • 5.2. 第二阶条件
      • 6. 弗罗贝尼乌斯定理
        • 6.1. 问题的地位
        • 6.2. 第一存在定理
        • 6.3. 第二存在定理
        • 6.4. 第二存在定理证明的终结
        • 6.5. 基本定理
        • 6.6. 用微分形式的解释
      • 习题
    • 第二章 变分学原理
      • 1. 问题的地位
        • 1.1. C^1类曲线的空间
        • 1.2. 曲线的泛函
        • 1.3. 例
        • 1.4. 极小问题
        • 1.5. 极值条件的变换
        • 1.6. 对于极值曲线f_(ϕ) ･ u的计算
      • 2. 欧拉方程的研究: 极值曲线的存在性. 例
        • 2.1. E=R ^n情形下的欧拉方程
        • 2.2. 例
        • 2.3. 力学中的拉格朗日方程
        • 2.4. 回到一般情形:F(t,x,y)与t无关情形
        • 2.5. F(x,y)是y的二次齐次式情形
        • 2.6. 流形的测地线情形
        • 2.7. 流形上曲线的极值问题
        • 2.8. 上列情形的变换
      • 3. 二维问题
        • 3.1. 问题的地位
        • 3.2. 极值条件的变换
      • 习题
    • 第三章 活动标架法对曲线及曲面论的应用
      • 1. 活动标架
        • 1.1. 微分形式ωi及ωij的定义
        • 1.2. 形式ωi 及ωij所满足的关系式
        • 1.3. 标准正交标架
        • 1.4. R ^3中定向曲线的弗雷内标架
        • 1.5. R ^3中定向曲面S上定向曲线C的达布标架
        • 1.6. 测地曲率､法曲率及测地挠率的计算
      • 2. 与R ^3中曲面相联系的含三个参变量的标架族
        • 2.1. 定向曲面的标架流形
        • 2.2. 曲面上标架的运动方程
        • 2.3. 曲面S的面积元素
        • 2.4. 曲面S的第二基本二次形式
        • 2.5. 已定方向上法曲率及测地挠率的计算
        • 2.6. 主方向
        • 2.7. 测地曲率的微分形式
        • 2.8. 标架场的应用
        • 2.9. 沿曲线的平行移动
        • 2.10. 全曲率与平行移动的关系
        • 2.11. 用第一基本形式计算曲面的全曲率
      • 习题
    • 索引 上编: 微分学
    • 索引 下编: 微分形式
    • 外国人名译名对照表
    • 译后记

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