函数论与泛函分析初步(第7版)(重排)

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目录
- 前辅文
- 第一章集论初步
  - §1. 集的概念.集上的运算
    - 1. 基本定义
    - 2. 集上的运算
  - §2. 映射.分类
    - 1. 集的映射.函数的一般概念
    - 2. 分类.等价关系
  - §3. 集的对等性.集的势的概念
    - 1. 有限集与无限集
    - 2. 可数集
    - 3. 集的对等性
    - 4. 实数集的不可数性
    - 5. 康托尔-伯恩斯坦(Cantor-Bernstein)定理
    - 6. 集的势的概念
  - §4. 有序集.超限数
    - 1. 偏序集
    - 2. 保序映射
    - 3. 序型.有序集
    - 4. 有序集的有序和
    - 5. 良序集.超限数
    - 6.序数的比较
    - 7. 选择公理.策梅洛定理及与其等价的其他命题
    - 8.超限归纳法
  - §5. 集族
    - 1. 集环
    - 2. 集半环
    - 3. 半环生成的环
    - 4. σ代数
    - 5. 集族与映射
- 第二章度量空间与拓扑空间
  - §1. 度量空间的概念
    - 1. 定义与基本例子
    - 2. 度量空间的连续映射.等距
  - §2. 收敛性.开集与闭集
    - 1. 极限点.闭包
    - 2. 收敛性
    - 3.稠密子集
    - 4. 开集与闭集
    - 5. 直线上的开集与闭集
  - §3. 完备度量空间
    - 1. 完备度量空间的定义与例子
    - 2. 球套定理
    - 3. 贝尔(Baire)定理
    - 4. 空间的完备化
  - §4. 压缩映射原理及其应用
    - 1. 压缩映射原理
    - 2. 压缩映射原理最简单的一些应用
    - 3. 微分方程的存在性与唯一性定理
    - 4. 压缩映射原理应用于积分方程
  - §5. 拓扑空间
    - 1. 拓扑空间的定义与例子
    - 2. 拓扑的比较
    - 3. 确定邻域族.基.可数性公理
    - 4. T中的收敛序列
    - 5. 连续映射.同胚
    - 6. 分离性公理
    - 7. 在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性
  - §6. 紧性
    - 1. 紧性概念
    - 2. 紧空间的连续映射
    - 3. 在紧空间上的连续函数与半连续函数
    - 4. 可数紧性
    - 5. 准紧集.
  - §7. 度量空间的紧性
    - 1. 完全有界性
    - 2. 紧性与完全有界性
    - 3. 度量空间中的准紧子集
    - 4. 阿尔采拉(Arzel)定理
    - 5. 佩亚诺(Peano)定理
    - 6. 一致连续性.度量紧统的连续映射
    - 7. 拓广的阿尔采拉定理
  - §8. 度量空间中的连续曲线
- 第三章赋范线性空间与线性拓扑空间
  - §1. 线性空间
    - 1. 线性空间的定义及例子
    - 2. 线性相关性
    - 3. 子空间
    - 4. 商空间
    - 5. 线性泛函
    - 6. 线性泛函的几何意义
  - §2. 凸集与凸泛函.哈恩-巴拿赫(Hahn-Banach)定理
    - 1. 凸集与凸体
    - 2. 齐次凸泛函
    - 3. 闵可夫斯基泛函
    - 4. 哈恩-巴拿赫定理
    - 5. 线性空间中凸集的可分离性
  - §3. 赋范空间
    - 1. 赋范空间的定义与例子
    - 2. 赋范空间的子空间
    - 3. 赋范空间的商空间
  - §4. 欧几里得空间
    - 1. 欧几里得空间的定义
    - 2. 例子
    - 3. 正交基的存在性,正交化
    - 4. 贝塞耳(Bessel)不等式.封闭正交系
    - 5. 完备的欧几里得空间.里斯-费希尔(Riesz-Fisher)定理
    - 6. 希尔伯特空间.同构定理
    - 7. 子空间.正交补.直和
    - 8. 欧几里得空间的特性
    - 9. 复欧几里得空间
  - §5. 线性拓扑空间
    - 1. 定义与例子
    - 2. 局部凸性
    - 3. 可数赋范空间
- 第四章线性泛函与线性算子
  - §1. 线性连续泛函
    - 1. 线性拓扑空间中的线性连续泛函
    - 2. 赋范空间上的线性泛函
    - 3. 赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理
    - 4. 在可数赋范空间中的线性泛函
  - §2. 共轭空间
    - 1. 共轭空间的定义
    - 2. 共轭空间中的强拓扑
    - 3. 共轭空间的例子
    - 4. 二次共轭空间
  - §3. 弱拓扑与弱收敛
    - 1. 在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛
    - 2. 赋范空间中的弱收敛
    - 3. 共轭空间中的弱拓扑与弱收敛
    - 4. 共轭空间中的有界集
  - §4. 广义函数
    - 1. 函数概念的推广
    - 2. 基本函数空间
    - 3. 广义函数
    - 4. 广义函数的运算
    - 5. 基本函数范围的充足性
    - 6. 按导数求函数.广义函数类中的微分方程
    - 7. 某些推广
  - §5. 线性算子
    - 1. 线性算子的定义与例
    - 2. 连续性与有界性
    - 3. 算子的和与积
    - 4. 逆算子,可逆性
    - 5. 共轭算子
    - 6. 欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子
    - 7. 算子的谱.预解式
  - §6. 紧算子
    - 1. 紧算子的定义与例
    - 2. 紧算子的基本性质
    - 3. 紧算子的特征值
    - 4. 希尔伯特空间中的紧算子
    - 5. H中的自共轭紧算子
- 第五章测度, 可测函数, 积分
  - §1. 平面集的测度
    - 1. 初等集的测度
    - 2. 平面集的勒贝格(Lebesgue)测度
    - 3. 若干补充与推广
  - §2. 一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ加性
    - 1. 测度的定义
    - 2. 从半环到其所生成的环的测度扩张
    - 3. σ加性
  - §3. 测度的勒贝格扩张
    - 1. 给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张
    - 2. 给定在不含单位集的半环上的测度扩张
    - 3. 在σ有限测度的情形下可测性概念的扩充
    - 4. 按约当(Jordan)意义的测度扩张
    - 5. 测度扩张的单值性
  - §4. 可测函数
    - 1. 可测函数的定义及其基本性质
    - 2. 可测函数的运算
    - 3. 等价性
    - 4. 几乎处处收敛性
    - 5. 叶果洛夫(Егоров)定理
    - 6. 按测度收敛
    - 7. 鲁金(Лузин)定理.C性质
  - §5. 勒贝格积分
    - 1. 简单函数
    - 2. 简单函数的勒贝格积分
    - 3. 具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义
    - 4. σ加性和勒贝格积分的绝对连续性
    - 5. 勒贝格积分号下取极限
    - 6. 无穷测度集上的勒贝格积分
    - 7. 勒贝格积分同黎曼积分之比较
  - §6. 集族及其测度的直积.富比尼(Fubini)定理
    - 1. 集族的乘积
    - 2. 测度积
    - 3. 用截线的线性测度之积分表示平面测度之表达式.勒贝格积分的几何意义
    - 4. 富比尼定理
- 第六章勒贝格不定积分.微分论
  - §1. 单调函数.积分对上限的可微性
    - 1. 单调函数的基本性质
    - 2. 单调函数的可微性
    - 3. 积分对上限求导数
  - §2. 有界变差函数
  - §3. 勒贝格不定积分的导数
  - §4. 用函数的导数求原函数.绝对连续函数
  - §5. 作为集函数的勒贝格积分.拉东-尼柯迪姆(Radon-Nikodm)定理
    - 1. 荷·哈恩分解和约当分解
    - 2. 荷的基本类型
    - 3. 绝对连续荷.拉东-尼柯迪姆定理
  - §6. 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分
    - 1. 斯蒂尔切斯测度
    - 2. 勒贝格-斯蒂尔切斯积分
    - 3. 勒贝格-斯蒂尔切斯积分在概率论中的某些应用
    - 4. 黎曼-斯蒂尔切斯(Riemann-Stieltjes)积分
    - 5. 斯蒂尔切斯积分号下取极限
    - 6. 连续函数空间中线性连续泛函的一般形式
- 第七章可和函数空间
  - §1. 空间L1
    - 1. 空间L1的定义与基本性质
    - 2. L1中
    - 处处稠密的集合
  - §2. 空间L2
    - 1. 定义与基本性质
    - 2. 无穷测度的情形
    - 3. 在L2中处处稠密的集合.同构定理
    - 4. 复空间L2
    - 5. 均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系
  - §3. L2中的正交函数系.按正交系展开的级数
    - 1. 三角函数系.傅里叶三角级数
    - 2. 在闭区间[0,π]上的三角函数系
    - 3. 复形式的傅里叶级数
    - 4. 勒让德(Legendre)多项式
    - 5. 乘积正交系.多重傅里叶级数
    - 6. 关于给定权正交的多项式
    - 7. 空间L2(-∞,∞)与L2(0,∞)中的正交基
    - 8. 关于离散权的正交多项式
    - 9. 哈尔(Haar)系与拉德马赫-沃尔什(Rademacher-Walsh)系
- 第八章三角级数.傅里叶变换
  - §1. 傅里叶级数收敛的条件
    - 1. 傅里叶级数在一点收敛的充分条件
    - 2. 傅里叶级数一致收敛的条件
  - §2. 费耶(Fejér)定理
    - 1. 费耶定理
    - 2. 三角函数系的完备性.魏斯特拉斯定理
    - 3. 空间L1中的费耶定理
  - §3. 傅里叶积分
    - 1. 基本定理
    - 2. 复形式的傅里叶积分
  - §4. 傅里叶变换,它的性质与应用
    - 1. 傅里叶变换与反演公式
    - 2. 傅里叶变换的基本性质
    - 3. 埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性
    - 4. 快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换
    - 5. 傅里叶变换与函数的卷积
    - 6. 用傅里叶变换解热传导方程
    - 7. 多元函数的傅里叶变换
  - §5. 空间L2(-∞,∞)中的傅里叶变换
    - 1. 布兰舍列尔(Planchler)定理
    - 2. 埃尔米特函数
  - §6. 拉普拉斯(Laplace)变换
    - 1. 拉普拉斯变换的定义与基本性质
    - 2. 拉普拉斯变换对解微分方程的应用(算子法)
  - §7. 傅里叶-斯蒂尔切斯变换
    - 1. 傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义
    - 2. 傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用
  - §8. 广义函数的傅里叶变换
- 第九章线性积分方程
  - §1. 基本定义.导致积分方程的某些问题
    - 1. 积分方程的类型
    - 2. 导致积分方程的问题的一些例子
  - §2. 弗雷德霍姆积分方程
    - 1. 弗雷德霍姆积分算子
    - 2. 含对称核的方程
    - 3. 弗雷德霍姆定理.退化核情形
    - 4. 含任意核的方程的弗雷德霍姆定理
    - 5. 沃尔泰拉方程
    - 6. 第一类积分方程
  - §3. 含参数的积分方程.弗雷德霍姆法
    - 1. H里紧算子的谱
    - 2. 以λ的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式
- 第十章线性空间微分学概要
  - §1. 线性空间中的微分法
    - 1. 强微分(弗雷歇(Fréchet)微分)
    - 2. 弱微分(伽托(Gâteaux)微分)
    - 3. 有限增量公式
    - 4. 弱可微性与强可微性之间的关系
    - 5. 可微分泛函
    - 6. 抽像函数
    - 7. 积分
    - 8. 高阶导数
    - 9. 高阶微分
    - 10. 泰勒(Taylor)公式
  - §2. 隐函数定理及其某些应用
    - 1. 隐函数定理
    - 2. 微分方程解对初始数据的依赖性定理
    - 3. 切流形.刘斯切尔尼克(Люстерник)定理
  - §3. 极值问题
    - 1. 极值的必要条件
    - 2. 二阶微分.泛函极值的充分条件
    - 3. 有约束的极值问题
  - §4. 牛顿(Newton)法
- 附录巴拿赫代数(В.М.季霍米洛夫)
  - §1. 巴拿赫代数的定义与一些例子
    - 1. 巴拿赫代数,巴拿赫代数的同构
    - 2. 巴拿赫代数的一些例子
    - 3. 极大理想
  - §2. 谱和预解式
    - 1. 定义与例子
    - 2. 谱的性质
    - 3. 谱半径定理
  - §3. 几个辅助结果
    - 1. 商代数定理
    - 2. 三个引理
  - §4. 基本定理
    - 1. 线性连续可乘泛函与极大理想
    - 2. 集M中的拓扑.基本定理
    - 3. 维纳(Wiener)定理；习题
- 文献
- 各章的有关文献
- 索引
- 译者后记

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