本书是世界著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫院士在莫斯科大学数学力学系多年讲授泛函分析教程（曾称《数学分析Ⅲ》）的基础上编写的。它是关于泛函分析与实变函数论的精细问题的严格的系统阐述，书中反映了作者的教育思想，体现了作者丰富的教学经验与方法。内容包括：集合论初步，度量空间与拓扑空间，赋范线性空间与线性拓扑空间，线性泛函与线性算子，测度、可测函数、积分，勒贝格不定积分、微分论，可和函数空间，三角函数傅里叶变换，线性积分方程，线性空间微分学概要以及附录的巴拿赫代数。
本书适合数学、物理及相关专业的高年级本科生、研究生、高校教师和研究人员参考使用。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 集论初步
- §1.集的概念.集上的运算
- §2.映射.分类
- §3.集的对等性.集的势的概念
- 1.有限集与无限集
- 2.可数集
- 3.集的对等性
- 4.实数集的不可数性
- 5.康托尔-伯恩斯坦(Cantor-Bernstein)定理
- 6.集的势的概念
- §4.有序集.超限数
- 1.偏序集
- 2.保序映射
- 3.序型.有序集
- 4.有序集的有序和
- 5.良序集.超限数
- 6.序数的比较
- 7.选择公理.策梅洛定理及与其等价的其他
- 8.超限归纳法
- §5.集族
- 1.集环
- 2.集半环
- 3.半环生成的环
- 4.σ代数
- 5.集族与映射
- 第二章 度量空间与拓扑空间
- §1.度量空间的概念
- §2.收敛性.开集与闭集
- 1.极限点.闭包
- 2.收敛性
- 3.稠密子集
- 4.开集与闭集
- 5.直线上的开集与闭集
- §3.完备度量空间
- 1.完备度量空间的定义与例子
- 2.球套定理
- 3.贝尔(Baire)定理
- 4.空间的完备化
- §4.压缩映射原理及其应用
- 1.压缩映射原理
- 2.压缩映射原理最简单的一些应用
- 3.微分方程的存在性与唯一性定理
- 4.压缩映射原理应用于积分方程
- §5.拓扑空间
- 1.拓扑空间的定义与例子
- 2.拓扑的比较
- 3.确定邻域族.基.可数性公理
- 4.T中的收敛序列
- 5.连续映射.同胚
- 6.分离性公理
- 7.在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性
- §6.紧性
- 1.紧性概念
- 2.紧空间的连续映射
- 3.在紧空间上的连续函数与半连续函数
- 4.可数紧性
- 5.准紧集
- §7.度量空间的紧性
- 1.完全有界性
- 2.紧性与完全有界性
- 3.度量空间中的准紧子集
- 4.阿尔采拉(Arzel)定理
- 5.佩亚诺(Peano)定理
- 6.一致连续性.度量紧统的连续映射
- 7.拓广的阿尔采拉定理
- §8.度量空间中的连续曲线
- 第三章 赋范线性空间与线性拓扑空间
- §1.线性空间
- 1.线性空间的定义及例子
- 2.线性相关性
- 3.子空间
- 4.商空间
- 5.线性泛函
- 6.线性泛函的几何意义
- §2.凸集与凸泛函.哈恩-巴拿赫(Hahn-Banach)定理
- 1.凸集与凸体
- 2.齐次凸泛函
- 3.闵可夫斯基泛函
- 4.哈恩-巴拿赫定理
- 5.线性空间中凸集的可分离性
- §3.赋范空间
- 1.赋范空间的定义与例子
- 2.赋范空间的子空间
- 3.赋范空间的商空间
- §4.欧几里得空间
- 1.欧几里得空间的定义
- 2.例子
- 3.正交基的存在性,正交化
- 4.贝塞耳(Bessel)不等式.封闭正交系
- 5.完备的欧几里得空间.里斯-费希尔(Riesz-Fisher)定理
- 6.希尔伯特空间.同构定理
- 7.子空间.正交补.直和
- 8.欧几里得空间的特性
- 9.复欧几里得空间
- §5.线性拓扑空间
- 第四章 线性泛函与线性算子
- §1.线性连续泛函
- 1.线性拓扑空间中的线性连续泛函
- 2.赋范空间上的线性泛函
- 3.赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理
- 4.在可数赋范空间中的线性泛函
- §2.共轭空间
- 1.共轭空间的定义
- 2.共轭空间中的强拓扑
- 3.共轭空间的例子
- 4.二次共轭空间
- §3.弱拓扑与弱收敛
- 1.在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛
- 2.赋范空间中的弱收敛
- 3.共轭空间中的弱拓扑与弱收敛
- 4.共轭空间中的有界集
- §4.广义函数
- 1.函数概念的推广
- 2.基本函数空间
- 3.广义函数
- 4.广义函数的运算
- 5.基本函数范围的充足性
- 6.按导数求函数.广义函数类中的微分方程
- 7.某些推广
- §5.线性算子
- 1.线性算子的定义与例
- 2.连续性与有界性
- 3.算子的和与积
- 4.逆算子,可逆性
- 5.共轭算子
- 6.欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子
- 7.算子的谱.预解式
- §6.紧算子
- 1.紧算子的定义与例
- 2.紧算子的定义与例基本性质
- 3.紧算子的特征值
- 4.希尔伯特空间中的紧算子
- 5.H中的自共轭紧算子
- 第五章 测度,可测函数,积分
- §1.平面集的测度
- 1.初等集的测度
- 2.平面集的勒贝格(Lebesgue)测度
- 3.若干补充与推广
- §2.一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ加性
- 1.测度的定义
- 2.从半环到其所生成的环的测度扩张
- 3.σ加性
- §3.测度的勒贝格扩张
- 1.给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张
- 2.给定在不含单位集的半环上的测度扩张
- 3.在σ有限测度的情形下可测性概念的扩充
- 4.按约当(Jordan)意义的测度扩张
- 5.测度扩张的单值性
- §4.可测函数
- 1.可测函数的定义及其基本性质
- 2.可测函数的运算
- 3.等价性
- 4.几乎处处收敛性
- 5.叶果洛夫(Егоров)定理
- 6.按测度收敛
- 7.鲁金(Лузин)定理.C性质
- §5.勒贝格积分
- 1.简单函数
- 2.简单函数的勒贝格积分
- 3.具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义
- 4.σ加性和勒贝格积分的绝对连续性
- 5.勒贝格积分号下取极限
- 6.无穷测度集上的勒贝格积分
- 7.勒贝格积分同黎曼积分之比较
- §6.集族及其测度的直积.富比尼(Fubini)定理
- 1.集族的乘积
- 2.测度积
- 3.用截线的线性测度之积分表示平面测度之表达式.勒贝格积分的几何意义
- 4.富比尼定理
- 第六章 勒贝格不定积分.微分论
- §1.单调函数.积分对上限的可微性
- 1.单调函数的基本性质
- 2.单调函数的可微性
- 3.积分对上限求导数
- §2.有界变差函数
- §3.勒贝格不定积分的导数
- §4.用函数的导数求原函数.绝对连续函数
- §5.作为集函数的勒贝格积分.拉东-尼柯迪姆(Radon-Nikodm)定理
- 1.荷·哈恩分解和约当分解
- 2.荷的基本类型
- 3.绝对连续荷.拉东-尼柯迪姆定理
- §6.斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分
- 1.斯蒂尔切斯测度
- 2.勒贝格-斯蒂尔切斯积分
- 3.勒贝格-斯蒂尔切斯积分在概率论中的某些应用
- 4.黎曼-斯蒂尔切斯(Riemann-Stieltjes)积分
- 5.斯蒂尔切斯积分号下取极限
- 6.连续函数空间中线性连续泛函的一般形式
- 第七章 可和函数空间
- §1.空间L1
- 1.空间L1的定义与基本性质
- 2.L1中处处稠密的集合
- §2.空间L2
- 1.定义与基本性质
- 2.无穷测度的情形
- 3.在L2中处处稠密的集合.同构定理
- 4.复空间L2
- 5.均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系
- §3.L2中的正交函数系.按正交系展开的级数
- 1.三角函数系.傅里叶三角级数
- 2.在闭区间[0,π]上的三角函数系
- 3.复形式的傅里叶级数
- 4.勒让德(Legendre)多项式
- 5.乘积正交系.多重傅里叶级数
- 6.关于给定权正交的多项式
- 7.空间L2(-∞,∞)与L2(0,∞)中的正交基
- 8.关于离散权的正交多项式
- 9.哈尔(Haar)系与拉德马赫-沃尔什(Rademacher-Walsh)系
- 第八章 三角级数.傅里叶变换
- §1.傅里叶级数收敛的条件
- 1.傅里叶级数在一点收敛的充分条件
- 2.傅里叶级数一致收敛的条件
- §2.费耶(Fejér)定理
- 1.费耶定理
- 2.三角函数系的完备性.魏斯特拉斯定理
- 3.空间L1中的费耶定理
- §3.傅里叶积分
- §4.傅里叶变换,它的性质与应用
- 1.傅里叶变换与反演公式
- 2.傅里叶变换的基本性质
- 3.埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性
- 4.快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换
- 5.傅里叶变换与函数的卷积
- 6.用傅里叶变换解热传导方程
- 7.多元函数的傅里叶变换
- §5.空间L2.(-∞,∞)中的傅里叶变换
- 1.布兰舍列尔(Planchler)定理
- 2.埃尔米特函数
- §6.拉普拉斯(Laplace)变换
- 1.拉普拉斯变换的定义与基本性质
- 2.拉普拉斯变换对解微分方程的应用(算子法)
- §7.傅里叶-斯蒂尔切斯变换
- 1.傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义
- 2.傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用
- §8.广义函数的傅里叶变换
- 第九章 线性积分方程
- §1.基本定义.导致积分方程的某些问题
- 1.积分方程的类型
- 2.导致积分方程的问题的一些例子
- §2.弗雷德霍姆积分方程
- 1.弗雷德霍姆积分算子
- 2.含对称核的方程
- 3.弗雷德霍姆定理.退化核情形
- 4.含任意核的方程的弗雷德霍姆定理
- 5.沃尔泰拉方程
- 6.第一类积分方程
- §3.含参数的积分方程.弗雷德霍姆法
- 1.H里紧算子的谱
- 2.以λ的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式
- 第十章 线性空间微分学概要
- §1.线性空间中的微分法
- 1.强微分(弗雷歇(Fréchet)微分)
- 2.弱微分(伽托(Ga^teaux)微分)
- 3.有限增量公式
- 4.弱可微性与强可微性之间的关系
- 5.可微分泛函
- 6.抽象函数
- 7.积分
- 8.高阶导数
- 9.高阶微分
- 10.泰勒(Taylor)公式
- §2.隐函数定理及其某些应用
- 1.隐函数定理
- 2.微分方程解对初始数据的依赖性定理
- 3.切流形.刘斯切尔尼克(Люстерник)定理
- §3.极值问题
- 1.极值的必要条件
- 2.二阶微分.泛函极值的充分条件
- 3.有约束的极值问题
- §4.牛顿(Newton)法
- 附录 巴拿赫代数(В.М.季霍米洛夫)
- §1.巴拿赫代数的定义与一些例子
- 1.巴拿赫代数,巴拿赫代数的同构
- 2.巴拿赫代数的一些例子
- 3.极大理想(4.1.2.)
- §2.谱和预解式
- §3.几个辅助结果
- §4.基本定理
- 1.线性连续可乘泛函与极大理想
- 2.集M中的拓扑.基本定理
- 3.维纳(Wiener)定理;习题
- 文献
- 各章的有关文献
- 索引
- 译者后记
