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函数论与泛函分析初步(第7版)

“十一五”期间国家重点图书
样章
作者：
А. Н. 柯尔莫戈洛夫 C. B. 佛明 著 段虞荣 郑洪深 郭思旭 译
定价：
79.00元
ISBN：
978-7-04-063730-4
版面字数：
580.00千字
开本：
特殊
全书页数：
暂无
装帧形式：
精装
重点项目：
“十一五”期间国家重点图书
出版时间：
2025-04-09
物料号：
63730-00
读者对象：
学术著作
一级分类：
自然科学
二级分类：
数学与统计
三级分类：
函数论
暂无
  • 前辅文
  • 第一章 集合论初步
    • §1 集的概念.集上的运算
      • 1 基本定义
      • 2 集上的运算
    • §2 映射.分类
      • 1 集的映射.函数的一般概念
      • 2 分类.等价关系
    • §3 集的对等性.集的势的概念
      • 1 有限集与无限集
      • 2 可数集
      • 3 集的对等性
      • 4 实数集的不可数性
      • 5 康托尔-伯恩斯坦(Cantor-Bernstein)定理
    • §4 有序集.超限数
      • 1 偏序集
      • 2 保序映射
      • 3 序型.有序集
      • 4 有序集的有序和
      • 5 良序集.超限数
      • 6 序数的比较
      • 7 选择公理.策梅洛定理及与其等价的其他命题
      • 8 超限归纳法
    • §5 集族
      • 1 集环
      • 2 集半环
      • 3 半环生成的环
      • 4 σ代数
      • 5 集族与映射
  • 第二章 度量空间与拓扑空间
    • §1 度量空间的概念
      • 1 定义与基本例子
      • 2 度量空间的连续映射.等距
    • §2 收敛性.开集与闭集
      • 1 极限点.闭包
      • 2 收敛性
      • 3 稠密子集
      • 4 开集与闭集
      • 5 直线上的开集与闭集
    • §3 完备度量空间
      • 1 完备度量空间的定义与例子
      • 2 球套定理
      • 3 贝尔(Baire)定理
      • 4 空间的完备化
    • §4 压缩映射原理及其应用
      • 1 压缩映射原理
      • 2 压缩映射原理最简单的一些应用
      • 3 微分方程的存在性与唯一性定理
      • 4 压缩映射原理应用于积分方程
    • §5 拓扑空间
      • 1 拓扑空间的定义与例子
      • 2 拓扑的比较
      • 3 确定邻域族.基.可数性公理
      • 4 T中的收敛序列
      • 5 连续映射.同胚
      • 6 分离性公理
      • 7 在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性
    • §6 紧性
      • 1 紧性概念
      • 2 紧空间的连续映射
      • 3 在紧空间上的连续函数与半连续函数
      • 4 可数紧性
      • 5 准紧集
    • §7 度量空间的紧性
      • 1 完全有界性
      • 2 紧性与完全有界性
      • 3 度量空间中的准紧子集
      • 4 阿尔采拉(Arzelà)定理
      • 5 佩亚诺(Peano)定理
      • 6 一致连续性.度量紧统的连续映射
      • 7 拓广的阿尔采拉定理
    • §8 度量空间中的连续曲线
  • 第三章 赋范线性空间与线性拓扑空间
    • §1 线性空间
      • 1 线性空间的定义及例子
      • 2 线性相关性
      • 3 子空间
      • 4 商空间
      • 5 线性泛函
      • 6 线性泛函的几何意义
    • §2 凸集与凸泛函.哈恩-巴拿赫(Hahn-Banach)定理
      • 1 凸集与凸体
      • 2 齐次凸泛函
      • 3 闵可夫斯基泛函
      • 4 哈恩-巴拿赫定理
      • 5 线性空间中凸集的可分离性
    • §3 赋范空间
      • 1 赋范空间的定义与例子
      • 2 赋范空间的子空间
      • 3 赋范空间的商空间
    • §4 欧几里得空间
      • 1 欧几里得空间的定义
      • 2 例子
      • 3 正交基的存在性,正交化
      • 4 贝塞尔(Bessel)不等式.封闭正交系
      • 5 完备的欧几里得空间.里斯-费希尔(Riesz-Fisher)定理
      • 6 希尔伯特空间.同构定理
      • 7 子空间.正交补.直和
      • 8 欧几里得空间的特性
      • 9 复欧几里得空间
    • §5 线性拓扑空间
      • 1 定义与例子
      • 2 局部凸性
      • 3 可数赋范空间
  • 第四章 线性泛函与线性算子
    • §1 线性连续泛函
      • 1 线性拓扑空间中的线性连续泛函
      • 2 赋范空间上的线性泛函
      • 3 赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理
      • 4 在可数赋范空间中的线性泛函
    • §2 共轭空间
      • 1 共轭空间的定义
      • 2 共轭空间中的强拓扑
      • 3 共轭空间的例子
      • 4.二次共轭空间
    • §3 弱拓扑与弱收敛
      • 1 在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛
      • 2 赋范空间中的弱收敛
      • 3 共轭空间中的弱拓扑与弱收敛
      • 4 共轭空间中的有界集
    • §4 广义函数
      • 1 函数概念的推广
      • 2 基本函数空间
      • 3 广义函数
      • 4 广义函数的运算
      • 5 基本函数范围的充足性
      • 6 按导数求函数.广义函数类中的微分方程
      • 7 某些推广
    • §5 线性算子
      • 1 线性算子的定义与例
      • 2 连续性与有界性
      • 3 算子的和与积
      • 4 逆算子,可逆性
      • 5 共轭算子
      • 6 欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子
      • 7 算子的谱.预解式
    • §6 紧算子
      • 1 紧算子的定义与例
      • 2 紧算子的基本性质
      • 3 紧算子的特征值
      • 4 希尔伯特空间中的紧算子
      • 5 H中的自共轭紧算子
  • 第五章 测度,可测函数,积分
    • §1 平面集的测度
      • 1 初等集的测度
      • 2 平面集的勒贝格(Lebesgue)测度
      • 3 若干补充与推广
    • §2 一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ加性
      • 1 测度的定义
      • 2 从半环到其所生成的环的测度扩张
      • 3 σ加性
    • §3 测度的勒贝格扩张
      • 1 给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张
      • 2 给定在不含单位集的半环上的测度扩张
      • 3 在σ有限测度的情形下可测性概念的扩充
      • 4 按约当(Jordan)意义的测度扩张
      • 5 测度扩张的单值性
    • §4 可测函数
      • 1 可测函数的定义及其基本性质
      • 2 可测函数的运算
      • 3 等价性
      • 4 几乎处处收敛性
      • 5 叶果洛夫(Егоров)定理
      • 6 按测度收敛
      • 7 鲁金(Лузин)定理.C性质
    • §5 勒贝格积分
      • 1 简单函数
      • 2 简单函数的勒贝格积分
      • 3 具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义
      • 4 σ加性和勒贝格积分的绝对连续性
      • 5 勒贝格积分号下取极限
      • 6 无穷测度集上的勒贝格积分
      • 7 勒贝格积分同黎曼积分之比较
    • §6 集族及其测度的直积.富比尼(Fubini)定理
      • 1 集族的乘积
      • 2 测度积
      • 3 用截线的线性测度之积分表示平面测度
      • 之表达式.勒贝格积分的几何意义
      • 4 富比尼定理
  • 第六章 勒贝格不定积分.微分论
    • §1 单调函数.积分对上限的可微性
      • 1 单调函数的基本性质
      • 2 单调函数的可微性
      • 3 积分对上限求导数
    • §2 有界变差函数
    • §3 勒贝格不定积分的导数
    • §4 用函数的导数求原函数.绝对连续函数
    • §5 作为集函数的勒贝格积分.拉东-尼柯迪姆(Radon-Nikodým)定理
      • 1 荷•哈恩分解和约当分解
      • 2 荷的基本类型
      • 3 绝对连续荷.拉东-尼柯迪姆定理
    • §6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分
      • 1 斯蒂尔切斯测度
      • 2 勒贝格-斯蒂尔切斯积分
      • 3 勒贝格-斯蒂尔
      • 切斯积分在概率论中的某些应用
      • 4 黎曼-斯蒂尔切斯(Riemann -Stieltjes)积分
      • 5 斯蒂尔切斯积分号下取极限
      • 6 连续函数空间中线性连续泛函的一般形式
  • 第七章 可积函数空间
    • §1 空间L1
      • 1 空间L1的定义与基本性质
      • 2 L1中处处稠密的集合
    • §2 空间L2
      • 1 定义与基本性质
      • 2 无穷测度的情形
      • 3 在L2中处处稠密的集合.同构定理
      • 4 复空间L2
      • 5 均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系
    • §3 L2中的正交函数系.按正交系展开的级数
      • 1 三角函数系.傅里叶三角级数
      • 2 在闭区间[0,π]上的三角函数系
      • 3 复形式的傅里叶级数
      • 4 勒让德(Legendre)多项式
      • 5 乘积正交系.多重傅里叶级数
      • 6 关于给定权正交的多项式
      • 7 空间L2(-∞,∞)与L2(0,∞)中的正交基
      • 8 关于离散权的正交多项式
      • 9 哈尔(Haar)系与拉德马赫-沃尔什(Rademacher-Walsh)系
  • 第八章 三角级数.傅里叶变换
    • §1 傅里叶级数收敛的条件
      • 1 傅里叶级数在一点收敛的充分条件
      • 2 傅里叶级数一致收敛的条件
    • §2 费耶(Fejér)定理
      • 1 费耶定理
      • 2 三角函数系的完备性.魏斯特拉斯定理
      • 3 空间L1中的费耶定理
    • §3 傅里叶积分
      • 1 基本定理
      • 2 复形式的傅里叶积分
    • §4 傅里叶变换,它的性质与应用
      • 1 傅里叶变换与反演公式
      • 2 傅里叶变换的基本性质
      • 3 埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性
      • 4 快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换
      • 5 傅里叶变换与函数的卷积
      • 6 用傅里叶变换解热传导方程
      • 7 多元函数的傅里叶变换
    • §5 空间L2(-∞,∞)中的傅里叶变换
      • 1 布兰舍列尔(Planchler)定理
      • 2 埃尔米特函数
    • §6 拉普拉斯(Laplace)变换
      • 1 拉普拉斯变换的定义与基本性质
      • 2 拉普拉斯变换对解微分方程的应用(算子法)
    • §7 傅里叶-斯蒂尔切斯变换
      • 1 傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义
      • 2 傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用
    • §8 广义函数的傅里叶变换
  • 第九章 线性积分方程
    • §1 基本定义.导致积分方程的某些问题
      • 1 积分方程的类型
      • 2 导致积分方程的问题的一些例子
    • §2 弗雷德霍姆积分方程
      • 1 弗雷德霍姆积分算子
      • 2 含对称核的方程
      • 3 弗雷德霍姆定理.退化核情形
      • 4 含任意核的方程的弗雷德霍姆定理
      • 5 沃尔泰拉方程
      • 6 第一类积分方程
    • §3 含参数的积分方程.弗雷德霍姆法
      • 1 H里紧算子的谱
      • 2 以λ的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式
  • 第十章 线性空间微分学概要
    • §1 线性空间中的微分法
      • 1 强微分(弗雷歇(Fréchet)微分)
      • 2 弱微分(伽托(Gâteaux)微分)
      • 3 有限增量公式
      • 4 弱可微性与强可微性之间的关系
      • 5 可微分泛函
      • 6 抽象函数
      • 7 积分
      • 8 高阶导数
      • 9 高阶微分
      • 10 泰勒(Taylor)公式
    • §2 隐函数定理及其某些应用
      • 1 隐函数定理
      • 2 微分方程解对初始数据的依赖性定理
      • 3 切流形.刘斯切尔尼克(Люстерник)定理
    • §3 极值问题
      • 1 极值的必要条件
      • 2 二阶微分.泛函极值的充分条件
      • 3 有约束的极值问题
    • §4 牛顿(Newton)法
  • 附录 巴拿赫代数(В.М.季霍米洛夫)
    • §1 巴拿赫代数的定义与一些例子
      • 1 巴拿赫代数,巴拿赫代数的同构
      • 2 巴拿赫代数的一些例子
      • 3 极大理想
    • §2 谱和预解式
      • 1 定义与例子
      • 2 谱的性质
      • 3 谱半径定理
    • §3 几个辅助结果
      • 1 商代数定理
      • 2 三个引理
    • §4 基本定理
      • 1 线性连续可乘泛函与极大理想
      • 2 集M中的拓扑.基本定理
      • 3 维纳(Wiener)定理
  • 文献
  • 各章的有关文献
  • 索引
  • 译者后记

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