全书共六章。第一章介绍微积分的基本概念，从函数差商估值问题出发，直接引入导数和函数的一致连续性，并阐述导数作为切线的几何意义；通过差商上、下界的估计引入导数的又一个等价定义，推出“导数正则函数增”等导数基本性质；利用面积的基本性质引入定积分，证明微积分基本定理，且用于引入自然对数和指数函数并导出其基本性质。第二章为微积分的基本计算方法，并且应用微积分基本定理简洁地导出泰勒公式.第三章讲述微积分的初步应用。第四章建立实数理论并深入探讨函数的连续性。第五章引入极限概念，并用于建立无穷级数和无穷积分的理论与计算方法。第六章是常微分方程的入门知识.
本书从函数的宏观性质切入，直观简明，达到微观上的表述与传统体系逻辑等价，为顺利进入多元微积分打下坚实的基础，以期为突破微积分入门教学中长期存在的若干难点提供新的有效方案.
本书可作为理工科专业大学生的读本，也可供对微积分教学与研究有兴趣的教师或专家参考.
- 前辅文
- 第一章 基本概念和基本定理
- 1.0 回顾: 从数到函数
- 1.1 函数的差商和导数
- 1.1.1 差商——函数在区间上的平均变化率
- 1.1.2 函数在区间上的一致导数
- 1.1.3 导数的几何意义——切线的斜率
- 习题1.1
- 1.2 中值不等式及其初步应用
- 1.2.1 差商估值的另一个视角
- 1.2.2 中值不等式的初步应用
- 习题1.2
- 1.3 定积分与微积分基本定理
- 1.3.1 面积计算与定积分
- 1.3.2 微积分基本定理
- 1.3.3 用定积分引入自然对数
- 1.3.4 用对数的反函数引入指数函数
- 习题1.3
- 第二章 微积分的基本计算方法
- 2.1 求导数的公式
- 2.1.1 基本求导法则
- 2.1.2 初等函数求导公式
- 2.1.3 隐函数和参数方程表示的函数求导
- 习题2.1
- 2.2 求积分的方法
- 2.2.1 不定积分的计算
- 2.2.2 定积分的计算
- 2.2.3 定积分的近似计算
- 习题2.2
- 2.3 泰勒公式
- 2.3.1 微积分基本定理导出泰勒公式
- 2.3.2 泰勒公式的应用
- 习题2.3
- 第三章 微积分的初步应用
- 3.1 有关曲线的整体度量
- 3.1.1 平面区域的面积
- 3.1.2 简单的体积和表面积计算
- 3.1.3 平面曲线的弧长
- 习题3.1
- 3.2 曲线的局部性状
- 3.2.1 凸凹性
- 3.2.2 极值
- 3.2.3 曲率
- 习题3.2
- 3.3 物理应用举例
- 习题3.3
- 第四章 实数公理及函数连续性
- 4.1 实数系的基本性质
- 习题4.1
- 4.2 连续函数的性质
- 4.2.1 连续函数的介值定理
- 4.2.2 反函数存在性问题
- 4.2.3 连续函数的最值定理
- 4.2.4 函数在一点的连续性和导数
- 4.2.5 闭区间上点点连续函数的一致连续性
- 4.2.6 回顾: 从差商有界到连续
- 习题4.2
- 第五章 极限
- 5.1 数列的极限
- 5.1.1 数列极限的概念和例子
- 5.1.2 无穷级数
- 5.1.3 无穷级数判别法
- 习题5.1
- 5.2 函数的极限
- 5.2.1 函数极限的概念和例子
- 5.2.2 函数极限的计算
- 5.2.3 不定式极限的计算
- 5.2.4 广义积分和渐近线
- 习题5.2
- 5.3 傅里叶级数
- 5.3.1 三角函数系的正交性
- 5.3.2 周期为2π的函数的傅里叶级数
- 5.3.3 函数在[0, π]上的正弦级数或余弦级数
- 5.3.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数
- *5.3.5 傅里叶级数的复数形式
- 习题5.3
- 第六章 常微分方程及其应用
- 6.0 引言
- 6.1 最简单的微分方程
- 习题6.1
- 6.2 几种一阶微分方程
- 习题6.2
- 6.3 简单的二阶常微分方程
- 习题6.3
- 6.4 更多微分方程介绍
