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大学数学(第2版)——流形上的微积分

“十五”国家规划教材
样章
作者：
萧树铁
定价：
13.10元
ISBN：
978-7-04-013636-4
版面字数：
210.000千字
开本：
16开
全书页数：
174页
装帧形式：
平装
重点项目：
“十五”国家规划教材
出版时间：
2003-12-30
读者对象：
高等教育
一级分类：
数学与统计学类
二级分类：
理工类专业数学基础课
三级分类：
高等数学
　　本书是普通高等教育“十五”国家级规划教材,是高等教育出版社2000年版“大学数学”系列教材的第二版。
　　本书主要讲授定义在拓扑空间和微分流形上的连续函数、光滑函数和光滑影射,并介绍处理它们之间的关系的原理和方法。全书由4章组成:拓扑结构,光滑结构,外微分式及其积分,黎曼流形上的微分算子等。
　　本书可作为高等学校理工科各专业的教材,也可供其他专业人员参考。
  • 第一章　拓扑结构
    • 1.1　n维欧氏空间
      • 1.1.1　n维欧氏向量空间
      • 1.1.2　n维欧氏空间上的距离函数
      • 1.1.3　n维欧氏空间中的球状邻域
      • 1.1.4　n维欧氏空间中点列的极限
      • 1.1.5　n维欧氏空间上的连续函数
      • 1.1.6　从n维欧氏空间到m维欧氏空间的连续映射
    • 1.2　拓扑空间
      • 1.2.1　拓扑
      • 1.2.2　拓扑基
      • 1.2.3　由拓扑直接派生的基本概念
      • 1.2.4　拓扑子空间
      • 1.2.5　连续映射
    • 1.3　常见的拓扑空间
      • 1.3.1　度量空间
      • 1.3.2　乘积空间
      • 1.3.3　商空间
    • 1.4　重要的拓扑性质
      • 1.4.1　分离性公理
      • 1.4.2　紧致性
      • 1.4.3　局部紧致性
      • 1.4.4* 连通性和道路连通性
      • 1.4.5* 局部连通性和局部道路连通性
    • 1.5　习题一
  • 第二章　光滑结构
    • 2.1　微分流形
      • 2.1.1　拓扑流形
      • 2.1.2　局部坐标的变换
      • 2.1.3　光滑微分结构
      • 2.1.4　光滑流形的例子
    • 2.2　光滑函数
      • 2.2.1　光滑函数的定义
      • 2.2.2　截断函数
      • 2.2.3　单位分解定理
      • 2.2.4　光滑映射
    • 2.3　切空间
      • 2.3.1　切向量
      • 2.3.2　切空间
      • 2.3.3　自然基底
      • 2.3.4　切向量的分量
      • 2.3.5　光滑映射的切映射
      • 2.3.6　切映射的坐标表示
    • 2.4　子流形
      • 2.4.1　浸入子流形
      • 2.4.2　R3中的正则曲线和正则曲面
      • 2.4.3　光滑函数的水平面
    • 2.5　光滑切向量场
      • 2.5.1　光滑切向量场
      • 2.5.2　作为微分算子的光滑切向量场
      • 2.5.3　Poisson括号积
      • 2.5.4　在光滑映射下相关的光滑切向量场
    • 2.6　习题二
  • 第三章　外微分式及其积分
    • 3.1　外形式
      • 3.1.1　对偶向量空间
      • 3.1.2　对偶基底
      • 3.1.3　线性函数的分量的坐标变换公式
      • 3.1.4　多重线性函数
      • 3.1.5　r次外形式
      • 3.1.6　反对称化算子
      • 3.1.7　外形式的外积
      • 3.1.8　外形式的坐标表达式
      • 3.1.9　外多项式
      • 3.1.10　向量空间的线性映射在外形式空间上的诱导映射
    • 3.2　外微分式
      • 3.2.1　余切向量和余切空间
      • 3.2.2　r次外微分式
      • 3.2.3　外微分
      • 3.2.4　外微分的运算规则
      • 3.2.5　外微分的求值公式
      • 3.2.6　拉回映射
    • 3.3　可定向光滑流形和带边区域
      • 3.3.1　向量空间的定向
      • 3.3.2　可定向光滑流形
      • 3.3.3　可定向性的判别准则
      • 3.3.4　带边区域
      • 3.3.5　有向光滑流形在带边区域的边界上的诱导定向
    • 3.4　外微分式的积分
      • 3.4.1　外微分式的支撑集包含在坐标域内的情形
      • 3.4.2　一般情形
      • 3.4.3　积分的性质
      • 3.4.4　在浸入子流形上的积分
    • 3.5　Stokes定理
      • 3.5.1　Stokes定理的叙述
      • 3.5.2　Stokes定理的证明
        • 3.5.2.1　情形U∩D=的证明
        • 3.5.2.2　情形U∩D≠的证明
    • 3.6　习题三
  • 第四章　黎曼流形上的微分算子
    • 4.1　黎曼流形
      • 4.1.1　欧氏向量空间
      • 4.1.2　黎曼流形的定义
      • 4.1.3　黎曼流形的例子
      • 4.1.4　R3中的正则曲面
    • 4.2　梯度算子
      • 4.2.1　欧氏向量空间与其对偶空间的自然同构
      • 4.2.2　欧氏向量空间V和V的自然同构在任意的基底下的表示
      • 4.2.3　黎曼流形上的梯度算子
    • 4.3　光滑切向量场的协变微分
      • 4.3.1　Rn上的光滑切向量场的微分
      • 4.3.2　黎曼流形上的光滑切向量场的协变微分
      • 4.3.3* 光滑切向量场的分量的协变导数及其坐标变换公式
    • 4.4　散度算子和Laplace算子
      • 4.4.1　光滑切向量场的散度
      • 4.4.2　散度的局部坐标表达式
      • 4.4.3　Laplace算子
      • 4.4.4　单位球面上的Laplace算子
    • 4.5　黎曼流形上的外微分学
      • 4.5.1　n维欧氏向量空间中的Hodge星算子
      • 4.5.2　Hodge星算子在非单位正交基底下的表达式
      • 4.5.3　Hodge星算子在外微分式上的作用
      • 4.5.4　R3中的场论公式
      • 4.5.5　有向黎曼流形上的Hodge星算子和余微分算子
    • 4.6　习题四
  • 参考文献
  • 索引

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