本书结合Atiyah-Singer 指标理论方面近四十年来涌现的新思想、新技术，以凝练的语言，对流形上几何、拓扑与分析中若干经典结果，如示性类的陈-Weil 理论，等变上同调的Bott 留数公式及更一般的Berline-Vergne 局部化公式，Gauss-Bonnet- 陈定理， Poincaré-Hopf 指标公式,Morse 不等式，等等，给出了新颖而“现代”的系统介绍和处理。此外，
本书还介绍了流形上的热方程理论，并利用热方程方法证明了Hodge 定理和Lefschetz 不动点定理，给出了de Rham-Hodge 算子，Hirzebruch 符号差算子及Dirac 算子的局部指标公式；介绍了Quillen 的超联络理论，并利用该理论给出了Gauss-Bonnet- 陈定理的一个新的证明；还从向量丛上一般联络出发，几何地构造了向量丛的Euler 形式与Thom 形式。
本书旨在向国内的青年学子和数学工作者介绍Atiyah-Singer 指标理论的一些基础知识，展示该理论的基本思想与方法在流形的几何、拓扑与分析中某些问题上的重要应用，可作为数学系研究生的教学参考资料，也可供相关专业科研人员学习使用。
- 前辅文
- 第一章 示性类的陈-Weil理论
- 1.1 de Rham上同调理论回顾 1
- 1.2 超向量丛 3
- 1.2.1 超向量空间和超代数 3
- 1.2.2 超向量丛 6
- 1.2.3 超联络及其曲率 8
- 1.3 陈-Weil定理 11
- 1.3.1 陈-Weil定理 11
- 1.3.2 示性式, 示性类和示性数 13
- 1.4 一些例子 15
- 1.4.1 陈形式和陈类 15
- 1.4.2 实向量丛的Pontrjagin类 16
- 1.4.3 Hirzebruch的$L$-类、$\widehatA $-类和$\rm Td $-类 16
- 1.4.4 $K$-群和陈特征 19
- 1.4.5 陈-Simons超渡形式 21
- 1.5 叶状结构的Bott消灭定理 22
- 1.5.1 叶状结构与Bott消灭定理 22
- 1.5.2 绝热极限与Bott联络 25
- 1.6 奇数维陈-Weil理论 26
- 第二章 Bott~公式与~Duistermaat-Heckman~公式
- 2.1 Berline-Vergne 局部化公式 31
- 2.2 Bott 留数公式 36
- 2.3 Duistermaat-Heckman公式 38
- 2.4 Bott的原始想法 39
- 第三章 Gauss-Bonnet-陈定理
- 3.1 一个初等模型及 Berezin 积分 41
- 3.2 Mathai-Quillen 的 Thom 形式 43
- 3.3 超渡公式 45
- 3.4 Euler 形式与 Euler 类 46
- 3.5 Gauss-Bonnet-陈定理的证明 47
- 3.6 一些注记 49
- 3.7 陈省身的原始证明 50
- 3.8 再论 Gauss-Bonnet-陈定理 52
- 3.8.1 Clifford 作用 52
- 3.8.2 Gauss-Bonnet-陈定理的又一证明 57
- 3.8.3 Euler 类的又一陈-Weil 表示 61
- 3.8.4 Thom形式的又一陈-Weil表示 65
- 第四章 Poincar\'e -Hopf指标公式:解析证明
- 4.1 Hodge定理回顾 69
- 4.2 Weitzenb\"o ck公式 72
- 4.3 Poincar\'e -Hopf 指标公式和 Witten 形变 77
- 4.4 在$\cup _p\in \rm zero (V) U_p$外部的一个估计 78
- 4.5 Euclid 空间上的调和振子 79
- 4.6 Poincar\'e -Hopf指标公式的证明 82
- 4.7 $D_T,i $ 的一些估计, $2\leqslant i\leqslant 4$ 83
- 4.8 特殊情形的另一个解析证明 86
- 第五章 Morse不等式:解析证明
- 5.1 Morse不等式回顾 89
- 5.2 Witten形变 90
- 5.3 $(\Omega ^*(M),d_Tf )$的Hodge定理 92
- 5.4 $\Box _Tf $在$f$的临界点附近的行为 92
- 5.5 Morse不等式的证明 94
- 5.6 性质5.3 \hbox 的证明 96
- 5.7 一些注记与评论 102
- 第六章 Thom-Smale与Witten复形
- 6.1 Thom-Smale复形 105
- 6.2 Thom-Smale复形的de Rham映射 107
- 6.3 Witten瞬子复形与映射$e_T$ 109
- 6.4 映射$P_\infty ,T e_T$ 111
- 6.5 定理6.2 \hbox 的一个解析证明 113
- 第七章 关于Kervaire半示性数的Atiyah定理
- 7.1 Kervaire半示性数 116
- 7.2 Atiyah的原始证明 117
- 7.3 由Witten形变给出的证明 118
- 7.4 $k(M)$ 的一个泛计数公式 121
- 7.5 $k(M)$的不可乘性 122
- 第八章 Hodge定理的热方程证明
- 8.1 Laplace算子的热核及其基本性质 125
- 8.2 热核存在性定理8.1 \hbox 的证明 139
- 8.2.1 Levi迭代程式 139
- 8.2.2 M-P拟基本解及热核的存在性 142
- 8.2.3 引理 8.2 \hbox 、引理 8.3 \hbox 及引理 8.4 \hbox 的证明 150
- 第九章 Gauss-Bonnet-陈定理:热核方法的证明
- 9.1 Mckean-Singer 猜测 157
- 9.2 de Rham-Hodge算子局部指标公式的证明 160
- 第十章 Hirzebruch符号差指标定理:热核方法的证明
- 10.1 流形的符号差的解析解释 163
- 10.2 Hirzebruch符号差算子的局部指标公式 167
- 10.3 Hirzebruch符号差算子局部指标公式的证明 169
- 第十一章 Dirac算子及其局部指标定理
- 11.1 Clifford代数和Spin群 177
- 11.2 自旋流形与Dirac算子 183
- 11.3 Lichnerowicz公式及其应用 196
- 11.4 Dirac算子的局部指标定理 200
- 第十二章 Lefschetz不动点定理
- 12.1 Lefschetz数 207
- 12.2 定理12.1 \hbox 的热核证明 210
- 12.3 Atiyah-Bott不动点定理 213
- 12.4 Atiyah-Bott不动点定理的一个应用: Riemann-Roch-Hirzebruch定理 217
- 12.4.1 Riemann-Roch-Hirzebruch定理 217
- 12.4.2 Bott全纯留数定理 219
- 附录A 法坐标系
- 附录B Mehler公式
- 参考文献
- 索引
