数学基础（修订本）

本书在介绍数学基础的历史之后，系统讲述现代数学主体的基础 —— ZFC 集论，其中重点详述四种数（自然数、实数、序数和基数）的理论。实数的构造与传统的Dedekind 分割和Cantor基本序列等构造方法不同，采用了算术超滤分数构造法。

本书适合高等学校数学类专业本科生或研究生用作教材或教学参考书，也可供哲学和理工科其他专业的师生或研究人员参考。

目录
- 前辅文
- 第一章历史概述
  - S1.1 欧几里得几何
    - 1.1.1 《几何原本》的学术背景
    - 1.1.2 几何学——古希腊数学的主体
    - 1.1.3 演绎证明的范本
  - S1.2 皮亚诺(Peano) 自然数理论
    - 1.2.1 分析数学——数学的新阶段
    - 1.2.2 分析数学的基础危机
    - 1.2.3 分析算术化
    - 1.2.4 分析数学中的无限
    - 1.2 附1 几何学自身的重大变革
    - 1.2 附2 虚数是怎样进入数学的
    - 1.2 附3 皮亚诺算术的适当展开
  - S1.3 ZFC 集论
    - 1.3.1 康托尔集论与集论诞生时期的风暴
    - 1.3.1 附1 康托尔辩辞录: 数学的自由与制约
    - 1.3.1 附2 戴德金为创建集论所作的贡献
    - 1.3.2 集论悖论与基础危机
    - 1.3.3 数学可否归为逻辑
    - 1.3.4 直觉主义简介
    - 1.3.5 希尔伯特规划与哥德尔不完备性定理
    - 1.3.6 ZFC 集论脱颖而出
  - S1.4 本章小结
- 第二章逻辑准备
  - S2.1 命题演算初步
    - 2.1.1 命题连接词
    - 2.1.2 真值表与永真式
    - 2.1.3 真值方程组
    - $^*$2.1.4 命题连接词的完全组
  - S2.2 谓词演算简介
    - 2.2.1 谓词演算语言
    - 2.2.2 什么是数学证明
    - 2.2.3 数学形式系统举例——形式算术
- 第三章集论基本概念
  - S3.1 ZF 语言
  - S3.2 外延公理与内涵公理
  - S3.3 无序对公理
  - S3.4 并集公理与幂集公理
  - S3.5 关系与映射
    - 3.5.1 Descartes 积(Cartesian product) 集
    - 3.5.2 关系
    - 3.5.3 映射(函数)
    - 3.5.3 附单值化原则
  - S3.6 无限公理
    - 3.6.1 最小归纳集omega $
    - 3.6.2 归纳定义
    - 3.6.3 鸽笼原理
- 第四章什么是实数
  - S4.1 等价关系与分类
    - 4.1.1 等价关系
    - 4.1.2 等价类
    - 4.1.3 选代表原则与选择公理
  - S4.2 bf N ^2$ 的一个重要分类
    - 4.2 附由哪些自然数性质推出了整数性质
  - S4.3 重要练习一:bf Z \times (\bf Z -\0)$ 的一个分类
  - S4.4 算术超滤与算术模型
    - 4.4.1 bf N $ 上的滤子与超滤
    - 4.4.2 超滤变换
    - 4.4.3 用非主算术超滤构造的算术模型
    - 4.4.4 自然数数列的延伸
    - 4.4.5 小结
  - S4.5 一种特殊的非Archimedes 序域------ 从$^\ast \hN$ 到$^*\hQ$
  - S4.6 重要练习二: bf Q _<$ 的一个分类
  - S4.7 什么是实数
- 第五章结构与模型
  - S5.1 结构的概念与语言
  - S5.2 同构与同态
  - S5.3 理论与模型
    - 5.3 附1 完备序域的(同构) 唯一性
    - 5.3 附2 模型原理
    - 5.3 附3 $^*\bf N $ 对bf N $ 的保真性
- 第六章势
  - S6.1 等势
  - S6.2 不同大小的实无限
  - S6.3 Cantor-Bernstein 定理
  - S6.4 关于可数集的结论
    - 6.4 附可数集性质的另一常用表述
  - S6.5 势的性质与选择公理
  - S6.6 连续统假设
- 第七章良序结构与超限归纳法
  - S7.1 偏序
  - S7.2 全序
  - S7.3 良序
    - 7.3 附良序指标集
  - S7.4 超限归纳法
  - S7.5 关于结构delimiter "426830A \omega ,\in \delimiter "526930B $ 的练习
- 第八章序数
  - S8.1 序数的概念及一般性质
  - S8.2 后继序数与极限序数
  - S8.3 替换公理
  - S8.4 关于序数的超限归纳法
    - 8.4 附 bf On $ 上的递归定义
  - S8.5 集的号码库——Hartogs 数
  - S8.6 正则公理
    - 8.6 附集宇宙的形象
- 第九章选择公理
  - S9.1 选择公理的特殊性
  - S9.2 良序原理
  - S9.3 Zorn 引理
  - S9.4 选择公理的地位及应用例子(滤子扩张原则)
- 第十章基数
  - S10.1 基数概念
  - S10.2 基数算术
    - 10.2附1 序数与基数的加乘运算的关系
    - 10.2附2 连续统假设(CH) 蕴涵非主算术超滤存在
  - *S10.3 正则基数与奇异基数
  - S10.4 基数计算例子:omega $ 上超滤空间有多大
- 第十一章结束语
- 部分练习题与思考题提示或解答
- 参考文献
- 名词汇集
- 符号汇集