湖南大学数学学院组编的大学数学系列教材共包括5册。本书是第1册，主要介绍微积分基本概念、基本理论和基本方法及其应用。内容包括集合与函数、极限、函数的连续性、函数的导数和微分、导数与微分的应用、函数的积分、定积分的应用和常微分方程。各节后配有适量习题，各章后配有综合复习题，书末附有常用积分表。本书增加了数字资源板块，包括背景引入、数学家简介、典型例题、综合题参考答案与中学部分选修内容等，增强了可读性。
本书结构严谨、内容丰富、重难点突出，概念、定理及理论叙述准确、精炼。例题典型、习题精挑细选，具有代表性、启发性和挑战性，便于教学。教材内容深度、广度符合“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，适合高等院校理工类各专业学生使用。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 集合与函数
- 第一节 集合与映射
- 第二节 函数的概念与基本性质
- 一、函数的概念
- 二、函数的基本性质
- 三、函数的运算
- 四、反函数
- 习题1-2
- 第三节 初等函数
- 综合题一
- 第二章 极限
- 第一节 数列的极限
- 一、数列
- 二、数列极限的定义
- 三、数列极限的性质
- 四、数列的收敛准则
- 习题2-1
- 第二节 函数的极限
- 一、函数在无穷大处的极限
- 二、函数在有限点处的极限
- 三、函数极限的性质
- 四、x→x0时，函数的左、右极限
- 习题2-2
- 第三节 无穷小量与无穷大量
- 第四节 极限的运算
- 第五节 极限存在定理
- 一、夹逼定理
- 二、函数极限与数列极限的关系
- 三、柯西收敛准则
- 习题2-5
- 第六节 两个重要极限
- 一、limx→0sin xx=1
- 二、limx→∞1+1xx=e
- 习题2-6
- 第七节 无穷小量的比较
- 一、无穷小量比较的概念
- 二、等价无穷小量的性质与应用
- 习题2-7
- 综合题二
- 第三章 函数的连续性
- 第一节 函数的连续与间断
- 第二节 连续函数的性质
- 一、连续函数的基本性质
- 二、初等函数的连续性
- 三、闭区间上连续函数的性质
- *四、函数的一致连续性
- 习题3-2
- 综合题三
- 第四章 函数的导数和微分
- 第一节 导数的概念
- 一、导数的引入
- 二、导数的定义
- 三、导数的几何意义
- 四、可导与连续的关系
- 习题4-1
- 第二节 求导法则
- 一、函数四则运算的求导法则
- 二、复合函数的求导法则
- 三、反函数的求导法则
- 四、基本导数公式
- 五、隐函数的求导法则
- 六、取对数求导法则
- 七、由参数方程确定的函数的求导法则
- 习题4-2
- 第三节 高阶导数
- 第四节 微分及其运算
- 一、微分的定义
- 二、微分与导数的关系
- 三、微分的几何意义
- 四、复合函数的微分及基本微分公式
- *五、高阶微分
- 习题4-4
- 第五节 微分中值定理
- 一、费马定理
- 二、罗尔中值定理
- 三、拉格朗日中值定理
- 四、柯西中值定理
- 五、泰勒中值定理
- 习题4-5
- 第六节 洛必达法则
- 一、00型不定式的洛必达法则
- 二、∞∞型不定式的洛必达法则
- 三、其他不定式的洛必达法则
- 习题4-6
- 综合题四
- 第五章 导数与微分的应用
- 第一节 函数的单调性与曲线的凸性
- 第二节 函数的极值和最值
- 一、函数的极值
- 二、拐点与导函数极值点的关系
- 三、最优化问题
- 习题5-2
- 第三节 函数图形的描绘
- 第四节 相关变化率、曲率
- 第五节 导数在经济学中的应用
- 综合题五
- 第六章 函数的积分
- 第一节 定积分的概念与性质
- 一、定积分概念的导出背景
- 二、定积分的定义
- 三、定积分的性质
- 习题6-1
- 第二节 定积分的基本定理
- 一、原函数与积分上限函数
- 二、微积分基本公式
- 习题6-2
- 第三节 不定积分
- 一、不定积分的概念和性质
- 二、求不定积分的方法
- 三、有理函数的不定积分
- 四、三角函数有理式的不定积分
- 五、积分表的使用
- 习题6-3
- 第四节 定积分的计算
- 一、定积分的换元法
- 二、定积分的分部积分法
- 三、利用定积分求极限
- 习题6-4
- 第五节 反常积分
- 一、无穷区间上的积分
- 二、瑕积分
- 三、Γ函数
- 四、反常积分的收敛原理
- 五、反常积分的柯西主值
- 习题6-5
- 综合题六
- 第七章 定积分的应用
- 第一节 微元法
- 第二节 平面图形的面积
- 第三节 平面曲线的弧长
- 一、弧长的概念
- 二、弧长的计算
- 三、弧微分的几何意义
- 习题7-3
- 第四节 立体的体积和旋转体的侧面积
- 一、平行截面面积为已知的立体体积
- 二、旋转体的体积
- 三、旋转体的侧面积
- 习题7-4
- 第五节 定积分在物理及其他方面的应用
- 一、变力做功
- 二、液体的静压力
- 三、质量分布不均匀的线状物体的质量
- 四、连续函数的平均值
- 习题7-5
- 综合题七
- 第八章 常微分方程
- 第一节 微分方程的基本概念
- 一、常微分方程建模
- 二、微分方程的通解与特解
- 习题8-1
- 第二节 一阶微分方程
- 一、变量可分离方程
- 二、齐次方程
- 三、一阶线性微分方程
- 习题8-2
- 第三节 可降阶的高阶微分方程
- 一、y(n)=f(x)型的微分方程
- 二、y″=f(x,y′)型的微分方程
- 三、y″=f(y,y′)型的微分方程
- 四、可利用参变量降阶的方程
- 习题8-3
- 第四节 线性微分方程解的结构
- 第五节 高阶常系数线性微分方程
- 一、常系数齐次线性微分方程
- 二、常系数非齐次线性微分方程
- 习题8-5
- 第六节 欧拉方程
- 综合题八
- 附录 积分表
- 一、含有ax+b的积分(a,b为常数，且a≠0)
- 二、含有ax+b的积分(a,b为常数，且a≠0)
- 三、含有x2±a2的积分(a为常数，且a≠0)
- 四、含有ax2+b的积分(a,b为常数，且a>0)
- 五、含有ax2+bx+c的积分(a,b，c为常数，且a>0)
- 六、含有x2+a2的积分(a为常数，且a>0)
- 七、含有x2-a2的积分(a为常数，且a>0)
- 八、含有a2-x2的积分(a为常数，且a>0)
- 九、含有±ax2+bx+c的积分(a,b,c为常数，且a>0)
- 十、含有±x-a[]x-b或(x-a)(b-x)的积分(a,b为常数，且a≠b)
- 十一、含有三角函数的积分(其中a,b为常数)
- 十二、含有反三角函数的积分(其中a为常数，且a>0)
- 十三、含有指数函数的积分(其中a,b为常数)
- 十四、含有对数函数的积分
- 十五、含有双曲函数的积分
- 十六、定积分
