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整体微分几何初步（第三版）

作者：
沈一兵
定价：
43.00元
ISBN：
978-7-04-027261-1
版面字数：
390.000千字
开本：
16开
全书页数：
311页
装帧形式：
平装
重点项目：
暂无
出版时间：
2009-07-14
读者对象：
学术著作
一级分类：
自然科学
二级分类：
数学与统计
三级分类：
几何学

《整体微分几何初步(第3版)》是作者长期从事微分几何基础教学的产物，主要采用外微分形式和活动标架法，介绍欧氏空间曲线和曲面的某些整体性质。内容包括：E3中曲线和曲面的局部概论；活动标架法；曲线的整体微分几何；E3中曲面的整体微分几何；曲面的内蕴几何；高维欧氏空间的超曲面：Finsler几何中的某些变分计算。另有两个附录：欧氏空间点集拓扑概要；曲面的拓扑分类。书中介绍了整体微分几何的许多基本概念和方法技巧，既论述经典理论，也兼顾近代进展，并包含了丰富的微分几何参考文献，使读者在学完本书后，能独立进行整体微分几何的某些研究。

本书可作为高等院校数学系学生及研究生的教材，也可供数学和物理工作者参考。

  • 第0章 E3中曲线和曲面的局部概论
    • §1 E3中的曲线
      • 1.1 曲线的表示
      • 1.2 曲线的Frenet标架曲率和挠率
      • 1.3 曲线论的基本公式和基本定理
    • §2 E3中的曲面
      • 2.1 曲面的表示
      • 2.2 曲面上的活动标架第一基本形式
      • 2.3 长度、角度和面积元
      • 2.4 常见曲面
    • §3 曲面上的曲率
      • 3.1 曲面的第二基本形式
      • 3.2 wreingarten变换主曲率
      • 3.3 Gauss曲率平均曲率曲率线
      • 3.4 Gauss映射第三基本形式
    • §4 曲面的局部理论
      • 4.1 自然标架的基本公式
      • 4.2 测地曲率测地线
      • 4.3 法坐标与测地极坐标
  • 第一章 活动标架法
    • §1 幺正标架
      • 1.1 幺正标架
      • 1.2 双参数下的外乘法与外微分
      • 1.3 幺正标架的运动方程
    • §2 外微分形式
      • 2.1 外代数
      • 2.2 外微分形式
      • 2.3 外微分
      • 2.4 微分形式的积分
    • §3 可积系统
      • 3.1 E3的结构方程
      • 3.2 Frobenius定理
    • §4 曲线和曲面的基本定理
      • 4.1 曲线论基本定理
      • 4.2 用活动幺正标架研究曲面
        • 4.2.1 联络与第二基本形式
        • 4.2.2 测地曲率的Liouville公式
        • 4.2.3 Gauss美妙定理
      • 4.3曲面论基本定理
  • 第二章 曲线的整体微分几何
    • §1 平面曲线的某些整体性质
      • 1.1 等周不等式
      • 1.2 曲线的旋转指标
        • 1.2.1 映射的度数
        • 1.2.2 旋转指标定理
      • 1.3 凸闭曲线
    • §2 空间曲线的某些整体性质
      • 2.1 球面上的Crofton公式
      • 2.2 空间曲线的全曲率
      • 2.3 空间曲线的全挠率
  • 第三章 E3中曲面的整体微分几何
    • §1 曲面的Gauss—Bonnet公式
      • 1.1 曲面的整体描述
      • 1.2 Gauss-Bonnet公式
    • §2 Liebmann定理
      • 2.1 球面的刚性
      • 2.2 两个引理
      • 2.3 Liebmann定理的证明
    • §3 凸曲面和积分公式
      • 3.1 凸曲面的Hadamard定理
      • 3.2 Cohn-Vossen定理
      • 3.3 Minkowski积分公式
    • §4 Mink：OWSki问题和Christoffel问题的唯一性
      • 4.1 概述
      • 4.2 基本公式
      • 4.3 Minkowski问题的唯一性
      • 4.4 Christoffel问题的唯一性
    • §5 全平均曲率与willmore猜想
      • 5.1 全平均曲率
      • 5.2 球面的一个特征
      • 5.3 环面的全平均曲率
      • 5.4 Fenchel定理
    • §6 常负曲率曲面和Backlund变换
      • 6.1 常负曲率曲面和SG方程
      • 6.2 伪球线汇和焦曲面
      • 6.3 Backlund变换
    • §7 Hilbert定理
      • 7.1 负曲率曲面上的渐近线网
      • 7.2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网
      • 7.3 定理的证明
    • §8 Hartman—Nirenberg定理
      • 8.1 预备引理
      • 8.2 定理的证明
    • §9 极小曲面的Bernstein定理
      • 9.1 共变微分和Laplacian△
      • 9.2 关于Gauss曲率的计算
      • 9.3 极小图的Gauss曲率计算
      • 9.4 Bernstein定理的证明
    • §10 常平均曲率曲面
      • 10.1 面积的变分
      • 10.2 保体积的变分
      • 10.3 Hopf定理
  • 第四章 曲面的内蕴几何学
    • §1 曲面上的向量场
      • 1.1 曲面上的向量场
      • 1.2 曲面上向量场的平行移动
      • 1.3 向量场的奇点
      • 1.4 抽象曲面上的向量场
    • §2 测地线与完备曲面
      • 2.1 测地线
      • 2.2 指数映射exp
      • 2.3 测地线的最短性
      • 2.4 完备性
    • §3 弧长的第一变分
      • 3.1 曲线的变分
      • 3.2 第一变分公式
      • 3.3 第一变分公式的应用
    • §4 弧长的第二变分及Jacobi场
      • 4.1 弧长的第二变分公式
      • 4.2 Jacobi场
      • 4.3 共轭点
    • §5 曲率与拓扑
      • 5.1 曲率与Jacobi场
      • 5.2 Gauss曲率非正的曲面
    • §6 闭测地线与基本群
      • 6.1 闭测地线与基本群
      • 6.2 覆盖空间与闭测地线
      • 6.3 紧致闭曲面上的闭测地线
  • 第五章 高维欧氏空间的超曲面
    • §1 基本公式
      • 1.1 超曲面的结构方程和曲率张量
      • 1.2 主曲率与平均曲率
      • 1.3空间形式
    • §2 积分公式
      • 2.1 Minkowski积分公式
      • 2.2 紧致凸超曲面
    • §3 球面的刚性定理
      • 3.1 非负Ricci曲率的紧致超曲面
      • 3.2 常数数量曲率的紧致超曲面
    • §4 极小超曲面的.Bernstein型定理
      • 4.1关于第二基本形式的一个估计
      • 4.2 稳定性不等式
      • 4.3 Bet-nstein定理的推广
      • 4.4 定理4.4的另一证明
    • §5 常平均曲率的完备超曲面
      • 5.1 常平均曲率图
      • 5.2 常平均曲率超曲面的曲率估计
      • 5.3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面
    • §6 平均曲率流
      • 6.1 平均曲率流方程
      • 6.2 解的短时间存在性
      • 6.3 度量和曲率的发展
      • 6.4 紧致凸超曲面的收缩
    • §7 平均曲率流的奇性和凸性
      • 7.1 平均曲率流的奇性
      • 7.2 平均曲率流的凸性
      • 7.3 关于σ2的估计
      • 7.4 关于初等对称函数
      • 7.5 定理7.4的证明
    • §8 关于Lawson—simons猜想
      • 8.1 Lawson—Simons猜想
      • 8.2 作为欧氏超曲面的紧致流形
      • 8.3 定理8.1的证明
      • 8.4 一般的黎曼流形
    • 本章参考文献
  • 第六章 Fiasler几何中的某些变分计算
    • §1 FiIlsler流形
      • 1.1 Finsler流形
      • 1.2 陈联络(Chern connection)
      • 1.3 黎曼曲率
      • 1.4 体积元
      • 1.5 畸变与S曲率
      • 1.6 复Finsler流形
    • §2 某些几何变分计算
      • 2.1 散度公式
      • 2.2 Einsteil卜Hilbert泛函
      • 2.3 调和映射
        • 2.3.1 第一变分
        • 2.3.2 第二变分与Liouville型定理
      • 2.4 极小浸入
      • 2.5 复Finsler流形间的调和映射
        • 2.5.1 第一变分
        • 2.5.2 存在性
        • 2.5.3 同伦不变性
    • 本章参考文献
  • 附录A 欧氏空间点集拓扑概要
  • 附录B 曲面的拓扑分类
  • 本书参考文献
  • 索引

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