本书是在作者一系列演讲的讲稿基础上整理而成的，已成为整体微分几何方面的一本经典著作。它以拓扑、代数几何为基础，以分析为主要工具，论述了几何学中的 某些线性和非线性问题。本书内容包括：比较定理与梯度估计、负曲率流形上的调和函数、Reimann流形上的特征值问题、ReImann流形上的热核、纯 量曲率的共形形变、局部共形平坦流形等。书中还包括了丘成桐教授撰写的几何中的非线性分析、几何中未解决的问题、几何学未来的发展、几何与分析回顾、复几 何的历史及前景等综合性论述与演讲辞，宏观和精辟地描述了几何学中的重要问题，展示了该学科的历史和未来发展前景。
本书可供高等院校数学系高年级学生、研究生作教学用书，也可供现代几何和分析方面的教师及研究人员参考。
- 目录
- 第一章 比较定理与梯度估计
- 1.1 比较定理
- 1.2 分裂定理
- 1.3 梯度估计
- 1.4 具非负Ricci曲率的完备Riemann流形
- 第二章 负曲率流形上的调和函数
- 2.1 几何边界S(∞)及Dirichlet问题的可解性
- 2.2 Harnack不等式与Poisson核
- 2.3 Martin边界与Martin积分表示
- 2.4 Harnack不等式的证明
- 2.5 更一般流形上的调和函数
- 2.6 次调和函数与次中值公式
- 附录 整体Green函数的存在性
- 第三章 特征值问题
- 3.1 特征值的基本性质
- 3.2 Riemann流形的热核
- 3.3 第一特征值上界估计
- 3.4 第一特征值下界估计
- 3.5 高阶特征值的估计
- 3.6 结点集与特征值的重数
- 3.7 相邻两特征值之空隙
- 3.8 与曲面有关的特征值问题
- 第四章 Riemann流形上的热核
- 4.1 热方程的梯度估计
- 4.2 Harnack为等式与热核的估计
- 4.3 热核估计的应用
- 第五章 纯量曲率的共形形变
- 5.1 三维情形
- 5.2 Yamabe问题与共形不变量λ(M)
- 5.3 共形正规坐标与Green函数的渐近展开
- 5.4 Yamabe问题的解决
- 附录 Sobolev不等式中的最佳常数
- 第六章 局部共形平坦流形
- 6.1 共形变换与局部共形平坦流形
- 6.2 共形不变量
- 6.3 局部共形平坦流形在Sn上的嵌入
- 6.4 局部共形平坦流形的拓扑
- 6.5 与偏微分方程的关系
- 参考文献(第一至第六章)
- 第七章 问题集
- 7.1 曲率及流形上的拓扑
- 7.2 曲率与复结构
- 7.3 子流形
- 7.4 谱
- 7.5 与测地线有关的问题
- 7.6 极小子流形
- 7.7 广义相对论和Yang-Milh方程
- 参考文献
- 第八章 几何中的非线性分析
- 8.1 特征值与调和函数
- 8.2 Yamabe方程及共形平坦流形
- 8.3 调和映照
- 8.4 极小子流形
- 8.5 K●hler几何
- 8.6 复流形上的典则度量
- 参考文献
- 第九章 几何中未解决的问题
- 9.1 度量几何
- 9.2 经典Euclid几何
- 9.3 偏微分方程
- 9.4 K●hler几何学
- 参考文献
- 附录Ⅰ 几何学的未来发展
- 附录Ⅱ 几何与分析回顾
- 附录Ⅲ 复几何的历史及前景
- 索引
