本书对第1版作了修订，并添加了差分法方面的内容,以便提供联系偏微分方程与差分方程的基本概念；力求把分部积分、场论、Sturm-Liouville理论等与偏微分方程结合起来讨论，以便揭示其作用与意义;另外，对极值原理也作了较仔细的讨论。本书内容以微积分理论所能容纳的程度为限，具体内容包括:一阶方程、差分法、变分问题、常系数线性方程求解方法、二阶线性方程等,对三类二阶线性方程附加了有关差分法的数值计算举例。
本书力求保持物理模型讲述的完整性以及偏微分方程中逻辑性与历史性的统一。在各部分内容的讨论中,除了保证数学上的严密性之外,还注意对其实际意义的解释,并穿插有关的历史事例,希望能为讨论注入活力，并向学生介绍正确的数学观。
本书可作为高等学校数学系偏微分方程课程的教材或参考书。
- 目录
- 前辅文
- 第一章基本概念和一阶偏微分方程
- §1.1 记号和基本概念
- 1.1.1 记号
- 1.1.2 基本概念
- 1.1.3 定解条件和定解问题
- 1.1.4 偏微分方程小史
- 1.1.5 本课程的打算
- §1.2 一阶偏微分方程
- 1.2.1 拟线性方程的Cauchy 问题
- 1.2.2 完全非线性方程的Cauchy 问题
- 1.2.3 全积分和包面
- §1.3 幂级数和Cauchy-Kovalevskaya 定理
- 1.3.1 实解析函数和优函数
- 1.3.2 常微分方程的实解析解
- 1.3.3 Cauchy-Kovalevskaya 定理
- §1.4 差分方程和微分方程的差分格式
- 1.4.1 差分格式和导数
- 1.4.2 差分法与偏微分方程数值解法
- 1.4.3 差分法与数值解法小结
- 1.4.4 一阶方程数值解法举例
- 第二章定解问题的导出和二阶线性偏微分方程的分类及化简
- §2.1 变分问题和微分方程与变分原理和定解问题
- §2.2 二阶线性偏微分方程的分类和化简
- 2.2.1 二阶常系数线性偏微分方程的分类和化简
- 2.2.2 二阶变系数线性偏微分方程的分类和有关的坐标变换
- 2.2.3 两自变量的变系数二阶线性偏微分方程的化简
- 第三章二阶常系数线性偏微分方程的求解方法
- §3.1 叠加原理和齐次化原理
- 3.1.1 定解问题的分解
- 3.1.2 齐次化(Duhamel) 原理
- §3.2 Fourier 级数和分离变量法
- §3.3 Fourier 积分和积分变换
- 3.3.1 Fourier 积分定理
- 3.3.2 Fourier 变换及其性质
- 3.3.3 Laplace 变换及其性质
- 第四章波动方程
- §4.1 波动方程的建立
- 4.1.1 弦振动方程(一维波动方程) 的建立
- 4.1.2 膜振动方程(二维波动方程) 的建立
- 4.1.3 弹性介质中的振动方程(三维波动方程) 的建立
- §4.2 弦振动方程的Cauchy 问题与半无界弦的初边值问题
- 4.2.1 弦振动方程的Cauchy 问题
- 4.2.2 半无界弦的初边值问题(延拓法)
- §4.3 三维和二维波动方程的Cauchy 问题
- 4.3.1 三维波动方程的Cauchy 问题(球平均法)
- 4.3.2 二维波动方程的Cauchy 问题(降维法)
- 4.3.3 依赖区域, 决定区域和影响区域以及二维波动和三维波动的区别
- 4.3.4 波动方程Cauchy 问题的惟一性和稳定性, 能量积分
- §4.4 波动方程在有界区域上的初边值问题
- 4.4.1 弦振动方程的初边值问题
- 4.4.2 有界区间上弦振动方程解的物理意义
- 4.4.3 多维波动方程在有界区域上的初边值问题
- 4.4.4 有界区域上波动方程初边值问题的惟一性和稳定性
- §4.5 波动方程数值解举例
- 第五章热传导方程
- §5.1 热传导方程的建立
- §5.2 有界区域上初边值问题的分离变量法
- §5.3 热传导方程的Cauchy 问题和半空间上的初边值问题
- 5.3.1 热传导方程的Cauchy 问题
- 5.3.2 热传导方程在半空间上的初边值问题
- §5.4 极值原理与惟一性和稳定性
- 5.4.1 极值原理
- 5.4.2 有界区域上初边值问题的惟一性
- 5.4.3 有界区域上初边值问题的稳定性(最大模或最大值估计)
- 5.4.4 Cauchy 问题的惟一性和稳定性
- 5.4.5 能量积分
- §5.5 热传导方程数值解举例
- 第六章位势方程
- §6.1 位势方程的引入, 定解问题的提法和基本解
- §6.2 极值原理和位势方程的惟一性和稳定性
- §6.3 Green 公式和调和函数的性质
- 6.3.1 Green 公式
- 6.3.2 Green 函数
- 6.3.3 调和函数的性质
- §6.4 Newton 位势和非齐次位势方程的特解
- §6.5 Perron 方法
- §6.6 Laplace 方程数值解举例
- 参考文献
