本书第四版是在第三版的基础上修订而成的。与第三版相比主要差别在于：在第三章增加了一节“傅里叶变换与拉普拉斯变换”，删去了第三版中的第七章能量积分法，对第三版中第九章非线性偏微分方程部分作了简化和精炼（删去了一些理论推导，补充了物理解释），增加了差分解法（这些内容与变分方法合在一起作为新版的第七章）。此外，对全书的内容和文字表述作了更细致的审校和修改，补充了几个例题和注解。新版除了保留原来的特色和风格以外，体系更合理，难度更适中，更便于“教”和“学”。
本书是高等学校理工科各专业本科生的教材，也可作为部分工科专业的硕士研究生和总学时数在50学时左右的数学系本科生的教材。
- 前辅文
- 第一章 一些典型方程和定解条件的推导
- §1.1 基本方程的建立
- §1.2 初值条件与边界条件
- §1.3 定解问题的提法
- 习题一
- 第二章 分离变量法
- §2.1 有界弦的自由振动
- §2.2 有限长杆上的热传导
- §2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
- §2.4 非齐次方程的解法
- §2.5 非齐次边界条件的处理
- *§2.6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
- 习题二
- 第三章 行波法与积分变换法
- §3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
- §3.2 三维波动方程的泊松公式
- 3.2.1 三维波动方程的球对称解
- 3.2.2 三维波动方程的泊松公式
- 3.2.3 泊松公式的物理意义
- §3.3 傅里叶变换与拉普拉斯变换
- 3.3.1 傅里叶积分公式与傅里叶变换
- 3.3.2 傅里叶变换的基本性质
- 3.3.3 δ函数及其傅里叶变换
- 3.3.4 拉普拉斯变换及其基本性质
- 3.3.5 拉普拉斯变换的反演
- §3.4 积分变换法举例
- 习题三
- 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
- §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
- §4.2 格林公式
- §4.3 格林函数
- §4.4 两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解
- 4.4.1 半空间的格林函数
- 4.4.2 球域的格林函数
- 习题四
- 第五章 贝塞尔函数
- §5.1 贝塞尔方程的引出
- §5.2 贝塞尔方程的求解
- §5.3 当n为整数时贝塞尔方程的通解
- §5.4 贝塞尔函数的递推公式
- §5.5 函数展开成贝塞尔函数的级数
- 5.5.1 贝塞尔函数的零点
- 5.5.2 贝塞尔函数的正交性
- §5.6 贝塞尔函数应用举例
- *§5.7 贝塞尔函数的其他类型
- 5.7.1 第三类贝塞尔函数
- 5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数
- 5.7.3 开尔文函数(或称汤姆孙函数)
- *§5.8 贝塞尔函数的渐近公式
- 习题五
- 第六章 勒让德多项式
- §6.1 勒让德方程的引出
- §6.2 勒让德方程的求解
- §6.3 勒让德多项式
- §6.4 函数展开成勒让德多项式的级数
- 6.4.1 勒让德多项式的正交性
- 6.4.2 函数展开成勒让德多项式的级数
- *§6.5 连带的勒让德多项式
- 习题六
- 第七章 数学物理方程的近似解法
- §7.1 差分解法
- 7.1.1 将微分方程化成差分方程
- 7.1.2 拉普拉斯方程的差分格式
- 7.1.3 热传导方程的差分格式
- 7.1.4 波动方程的差分格式
- §7.2 变分方法
- 7.2.1 变分方法的物理背景
- *7.2.2 变分问题的可解性
- 7.2.3 里茨-伽辽金方法
- 习题七
- 第八章 非线性偏微分方程
- §8.1 极小曲面问题
- *§8.2 非线性偏微分方程举例
- §8.3 激波
- §8.4 KdV方程孤立波
- 习题八
- 附录A Γ函数的基本知识
- 附录B 傅里叶变换与拉普拉斯变换简表
- 习题参考答案
