数学分析原理(第一卷)(第9版)

《俄罗斯数学教材选译·“十一五”国家重点图书：数学分析原理（第1卷）（第9版）》是г.м.菲赫金哥尔茨继《微积分学教程》三卷本后的又一部关于数学分析的经典著作，是作者总结多年教学经验编写而成的。

《俄罗斯数学教材选译·“十一五”国家重点图书：数学分析原理（第1卷）（第9版）》针对大学数学系一二年级的分析课程，因此分两卷出版。第一卷内容包括：实数、一元函数、极限论、一元连续函数、一元函数的微分法、微分学的基本定理、应用导数来研究函数、多元函数、多元函数的微分学、微积分的几何应用和力学应用，书中专列一章讲述数学分析基本观念发展简史；第二卷内容包括：数项级数、函数序列及函数级数、反常积分、带参变量的积分、隐函数和函数行列式、线积分、二重积分、曲面面积和面积分、三重积分、傅里叶级数等，书后附有“数学分析进一步发展概况”的附录。

《俄罗斯数学教材选译·“十一五”国家重点图书：数学分析原理（第1卷）（第9版）》可供各级各类高等学校的数学分析与高等数学课程作为教学参考书，是数学分析教师极好的案头用书。

目录
- 前辅文
- 第一章实数
  - S1. 实数集合及其有序化
    - 1 前言
    - 2 无理数定义
    - 3 实数集合的有序化
    - 4 实数的无尽十进小数的表示法
    - 5 实数集合的连续性
    - 6 数集合的界
  - S2. 实数的四则运算
    - 7 实数的和的定义及其性质
    - 8 对称数.绝对值
    - 9 实数的积的定义及其性质
  - S3. 实数的其他性质及其应用
    - 10 根的存在性.具有有理指数的乘幂
    - 11 具有任何实指数的乘幂
    - 12 对数
    - 13 线段的测量
- 第二章一元函数
  - S1. 函数概念
    - 14 变量
    - 15 变量的变域
    - 16 变量间的函数关系.例题
    - 17 函数概念的定义
    - 18 函数的解析表示法
    - 19 函数的图形
    - 20 以自然数为变元的函数
    - 21 历史的附注
  - S2. 几类最重要的函数
    - 22 初等函数
    - 23 反函数的概念
    - 24 反三角函数
    - 25 函数的叠置.结束语
- 第三章极限论
  - S1. 函数的极限
    - 26 历史的说明
    - 27 数列
    - 28 序列的极限定义
    - 29 无穷小量
    - 30 例
    - 31 无穷大量
    - 32 函数极限的定义
    - 33 函数极限的另一定义
    - 34 例
    - 35 单侧极限
  - S2. 关于极限的定理
    - 36 具有有限的极限的自然数变元的函数的性质
    - 37 推广到任意变量的函数情形
    - 38 在等式与不等式中取极限
    - 39 关于无穷小量的引理
    - 40 变量的算术运算
    - 41 未定式
    - 42 推广到任意变量的函数情形
    - 43 例
  - S3. 单调函数
    - 44 自然数变元的单调函数的极限
    - 45 例
    - 46 关于区间套的引理
    - 47 在一般情形下单调函数的极限
  - S4. 数e
    - 48 数e看作序列的极限
    - 49 数e的近似计算法
    - 50 数e的基本公式.自然对数
  - S5. 收敛原理
    - 51 部分序列
    - 52 以自然数为变元的函数存在有限极限的条件
    - 53 任意变元的函数存在有限极限的条件
  - S6. 无穷小量与无穷大量的分类
    - 54 无穷小量的比较
    - 55 无穷小量的尺度
    - 56 等价的无穷小量
    - 57 无穷小量的主部的分离
    - 58 应用问题
    - 59 无穷大量的分类
- 第四章一元连续函数
  - S1. 函数的连续性(与间断点)
    - 60 函数在一点处的连续性的定义
    - 61 单调函数的连续性条件
    - 62 连续函数的算术运算
    - 63 初等函数的连续性
    - 64 连续函数的叠置
    - 65 几个极限的计算
    - 66 幂指数表达式
    - 67 间断点的分类.例子
  - S2. 连续函数的性质
    - 68 关于函数取零值的定理
    - 69 应用于解方程
    - 70 关于中间值的定理
    - 71 反函数的存在性
    - 72 关于函数的有界性的定理
    - 73 函数的最大值与最小值
    - 74 一致连续性的概念
    - 75 关于一致连续性的定理
- 第五章一元函数的微分法
  - S1. 导数及其计算
    - 76 动点速度的计算问题
    - 77 作曲线的切线的问题
    - 78 导数的定义
    - 79 计算导数的例
    - 80 反函数的导数
    - 81 导数公式汇集
    - 82 函数增量的公式
    - 83 计算导数的几个最简单法则
    - 84 复合函数的导数
    - 85 例
    - 86 单侧导数
    - 87 无穷导数
    - 88 特殊情况的例子
  - S2. 微分
    - 89 微分的定义
    - 90 可微性与导数存在之间的关系
    - 91 微分的基本公式及法则
    - 92 微分形式的不变性
    - 93 微分作为近似公式的来源
    - 94 微分在估计误差中的应用
  - S3. 高阶导数及高阶微分
    - 95 高阶导数的定义
    - 96 任意阶导数的普遍公式
    - 97 莱布尼茨公式
    - 98 高阶微分
    - 99 高阶微分形式不变性的破坏
- 第六章微分学的基本定理
  - S1. 中值定理
    - 100 费马定理
    - 101 罗尔定理
    - 102 有限增量定理
    - 103 导数的极限
    - 104 有限增量定理的推广
  - S2. 泰勒公式
    - 105 多项式的泰勒公式
    - 106 任意函数的展开式
    - 107 余项的其他形式
    - 108 已得的公式在初等函数上的应用
    - 109 近似公式.例
- 第七章应用导数来研究函数
  - S1. 函数的变化过程的研究
    - 110 函数为常数的条件
    - 111 函数为单调的条件
    - 112 极大及极小.必要条件
    - 113 第一法则
    - 114 第二法则
    - 115 函数的作图
    - 116 例
    - 117 高阶导数的应用
  - S2. 函数的最大值及最小值
    - 118 最大值及最小值的求法
    - 119 问题
  - S3. 未定式的定值法
    - 120 \dfrac0 0 \vspace2 型未定式
    - 121 \dfrac\infty \infty 型未定式
    - 122 其他类型的未定式
- 第八章多元函数
  - S1. 基本概念
    - 123 变量之间的函数关系.例
    - 124 二元函数及其定义区域
    - 125 m维算术空间
    - 126 m维空间中的区域举例
    - 127 开区域及闭区域的一般定义
    - 128 m元函数
    - 129 多元函数的极限
    - 130 例
    - 131 累次极限
  - S2. 连续函数
    - 132 多元函数的连续性及间断
    - 133 连续函数的运算
    - 134 关于函数取零值的定理
    - 135 波尔查诺-- 魏尔斯特拉斯引理
    - 136 关于函数有界性的定理
    - 137 一致连续性
- 第九章多元函数的微分学
  - S1. 多元函数的导数与微分
    - 138 偏导数
    - 139 函数的全增量
    - 140 复合函数的导数
    - 141 例
    - 142 全微分
    - 143 一阶微分形式的不变性
    - 144 全微分在近似计算中的应用
    - 145 齐次函数
  - S2. 高阶导数与高阶微分
    - 146 高阶导数
    - 147 关于混合导数的定理
    - 148 高阶微分
    - 149 复合函数的微分
    - 150 泰勒公式
  - S3. 极值、最大值与最小值
    - 151 多元函数的极值.必要条件
    - 152 静止点的研究(二元函数的情况)
    - 153 函数的最大值与最小值.例子
    - 154 问题
- 第十章原函数(不定积分)
  - S1. 不定积分及其最简单的计算法
    - 155 原函数概念(及不定积分概念)
    - 156 积分与求面积问题
    - 157 基本积分表
    - 158 最简单的积分法则
    - 159 例
    - 160 换元积分法
    - 161 例
    - 162 分部积分法
    - 163 例
  - S2. 有理式的积分
    - 164 有限形式积分法问题的提出
    - 165 简单分式及其积分
    - 166 真分式的积分
    - 167 奥斯特罗格拉茨基的积分有理部分分出法
  - S3. 某些根式的积分法
    - 168 R\left (x,\sqrt [\leftroot-4 \uproot15 m]\dfrac\alpha x+\beta \gaa x+\delta \right )dx 型根式的积分法
    - 169 二项式微分的积分法
    - 170 R(x,\sqrt ax^2+bx+c )型根式的积分法.欧拉替换法
  - S4. 含有三角函数及指数函数的式子的积分法
    - 171 微分式R(\sin x,\coSx)dx的积分法
    - 172 其他情形概述
  - S5. 椭圆积分
    - 173 定义
    - 174 化为典式
- 第十一章定积分
  - S1. 定积分定义及存在条件
    - 175 解决面积问题的另一途径
    - 176 定义
    - 177 达布和
    - 178 积分存在条件
    - 179 可积函数类别
  - S2. 定积分性质
    - 180 依有向区间的积分
    - 181 可用等式表出的性质
    - 182 可用不等式表出的性质
    - 183 定积分作为上限的函数
  - S3. 定积分的计算及变换
    - 184 用积分和的计算
    - 185 积分学基本公式
    - 186 定积分中变量替换公式
    - 187 定积分的分部积分法
    - 188 沃利斯公式
  - S4. 积分的近似计算
    - 189 梯形公式
    - 190 抛物线公式
    - 191 近似公式的余项
    - 192 例
- 第十二章积分学的几何应用及力学应用
  - S1. 面积及体积
    - 193 面积概念的定义.可求积区域
    - 194 面积的可加性
    - 195 面积作为极限
    - 196 以积分表出面积
    - 197 体积概念的定义及其性质
    - 198 以积分表出体积
  - S2. 弧长
    - 199 弧长概念的定义
    - 200 引理
    - 201 以积分表出弧长
    - 202 变弧及其微分
    - 203 空间曲线的弧长
  - S3. 力学及物理上的数量的计算
    - 204 定积分应用程式
    - 205 旋转面面积
    - 206 曲线的静矩及质心的求法
    - 207 平面图形的静矩及质心的求法
    - 208 力功
- 第十三章微分学的一些几何应用
  - S1. 切线及切面
    - 209 平面曲线的解析表示法
    - 210 平面曲线的切线
    - 211 切线的正方向
    - 212 空间曲线
    - 213 曲面的切面
  - S2. 平面曲线的曲率
    - 214 凹向.拐点
    - 215 曲率概念
    - 216 曲率圆及曲率半径
- 第十四章数学分析基本观念发展简史
  - S1. 微积分前史
    - 217 17 世纪与无穷小分析
    - 218 不可分素方法
    - 219 不可分素学说的进一步发展
    - 220 求最大及最小(极大极小).切线作法
    - 221 借助运动学想法来作切线
    - 222 切线作法问题与求积问题的互逆性
    - 223 上述的总结
  - S2. 依萨克.牛顿(Isaac Newton, 1642---1727)
    - 224 流数计算法
    - 225 流数计算法的逆计算法.求积
    - 226 牛顿的``原理'' 及极限理论的萌芽
    - 227 牛顿的奠基问题
  - S3. 莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646---1716)
    - 228 建立新计算法的初步
    - 229 最先刊行的微分学著作
    - 230 最先刊行的积分学著作
    - 231 莱布尼茨的其他著作.学派的建立
    - 232 莱布尼茨的奠基问题
    - 233 结尾语
- 索引

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