数值分析基础（第二版）

本书着重介绍现代科学与工程计算中的有关数值方法,强调数值分析的基本概念､理论及应用,特别是数值方法在计算机上的实现｡理论叙述严谨､精练,概念交代明确,方法描述清晰,系统性较强｡

全书内容包括:线性代数方程组的直接方法和迭代方法,特征值问题的数值方法,非线性方程和方程组的数值方法,函数的插值和逼近,线性最小二乘法,数值积分和微分,常微分方程初值问题的数值方法等｡

本书可作为理工科研究生数值分析､科学计算等课程的教材,也可以作为相关专业本科生的教材,还可供相关科研､技术人员参考｡

目录
- 前辅文
- 第一章引论
  - §1 数值分析的研究对象
  - §2 数值计算的误差
    - 2.1 误差的来源与分类
    - 2.2 绝对误差和相对误差､有效数字
    - 2.3 求函数值和算术运算的误差估计
    - 2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差
  - §3 病态问题､数值稳定性与避免误差危害
    - 3.1 病态问题与条件数
    - 3.2 数值方法的稳定性
    - 3.3 避免误差危害
  - §4 线性代数的一些基本概念
    - 4.1 矩阵的特征值问题､相似变换化标准形
    - 4.2 线性空间和内积空间
    - 4.3 范数､线性赋范空间
  - §5 几种常见矩阵的性质
    - 5.1 正交矩阵和酉矩阵
    - 5.2 对称矩阵和对称正定矩阵
    - 5.3 初等矩阵
    - 5.4 可约矩阵
    - 5.5 对角占优矩阵
  - 习题
- 第二章线性代数方程组的直接解法
  - §1 Gauss消去法
    - 1.1 顺序消去与回代过程
    - 1.2 顺序消去能够实现的条件
    - 1.3 矩阵的三角分解
  - §2 选主元素的消去法
    - 2.1 有换行步骤的消去法
    - 2.2 矩阵三角分解定理的推广
    - 2.3 选主元素的消去法
  - §3 直接三角分解方法
    - 3.1 Doolittle分解方法
    - 3.2 对称矩阵的三角分解､Cholesky方法
    - 3.3 带状矩阵方程组的直接方法
  - §4 矩阵的条件数､直接方法的误差分析
    - 4.1 扰动方程组与矩阵的条件数
    - 4.2 病态方程组的解法
    - 4.3 列主元素消去法的舍入误差分析
  - 习题
  - 计算实习题
- 第三章线性代数方程组的迭代解法
  - §1 迭代法的基本概念
    - 1.1 向量序列和矩阵序列的极限
    - 1.2 迭代公式的构造
    - 1.3 迭代法收敛性分析
  - §2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
    - 2.1 Jacobi迭代法
    - 2.2 Gauss-Seidel迭代法
    - 2.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性
  - §3 超松弛迭代法
    - 3.1 逐次超松弛迭代公式
    - 3.2 SOR迭代法的收敛性
    - 3.3 最优松弛因子
    - 3.4 对称超松弛迭代法
  - §4 共轭梯度法
    - 4.1 与方程组等价的变分问题
    - 4.2 最速下降法
    - 4.3 共轭梯度法
    - 4.4 预处理共轭梯度方法
  - 习题
  - 计算实习题
- 第四章非线性方程和方程组的数值解法
  - §1 区间对分法
  - §2 单个方程的不动点迭代法
    - 2.1 不动点和不动点迭代法
    - 2.2 迭代法在区间[a,b]的收敛性
    - 2.3 局部收敛性与收敛阶
  - §3 迭代加速收敛的方法
    - 3.1 Aitken加速方法
    - 3.2 Steffensen迭代法
  - §4 Newton迭代法和割线法
    - 4.1 Newton迭代法的计算公式
    - 4.2 局部收敛性和全局收敛性
    - 4.3 重根情形
    - 4.4 割线法
  - §5 非线性方程组的不动点迭代法
    - 5.1 向量值函数的连续性和导数
    - 5.2 压缩映射和不动点迭代法
  - §6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法
    - 6.1 Newton法
    - 6.2 拟Newton法
  - 习题
  - 计算实习题
- 第五章矩阵特征值问题的数值方法
  - §1 特征值的估计和扰动
    - 1.1 特征值的估计
    - 1.2 特征值的扰动
  - §2 正交变换和矩阵因式分解
    - 2.1 Householder变换
    - 2.2 Givens变换
    - 2.3 矩阵的QR因式分解
    - 2.4 矩阵的Schur因式分解
  - §3 幂迭代法和逆幂迭代法
    - 3.1 幂迭代法
    - 3.2 加速技术
    - 3.3 逆幂迭代法
    - 3.4 收缩方法
  - §4 QR方法
    - 4.1 基本QR迭代
    - 4.2 正交相似变换化矩阵为上Hessenberg形式
    - 4.3 Hessenberg矩阵的QR方法
    - 4.4 带有原点位移的QR方法
    - 4.5 双重步QR方法
  - §5 对称矩阵特征值问题的计算
    - 5.1 对称矩阵特征值问题的性质
    - 5.2 Rayleigh商迭代
    - 5.3 Jacobi方法
    - 5.4 对称矩阵的QR方法
  - 习题
  - 计算实习题
- 第六章插值法
  - §1 Lagrange插值
    - 1.1 Lagrange插值多项式
    - 1.2 插值余项及其估计
    - 1.3 线性插值和二次插值
    - 1.4 关于插值多项式的收敛性问题
  - §2 均差与Newton插值多项式
    - 2.1 均差及其性质
    - 2.2 Newton插值多项式
    - 2.3 差分及其性质
    - 2.4 等距节点的Newton插值公式
  - §3 Hermite插值
    - 3.1 Hermite插值多项式
    - 3.2 重节点均差
    - 3.3 Newton形式的Hermite插值多项式
    - 3.4 一般密切插值(Hermite插值)
  - §4 三次样条插值
    - 4.1 分段线性插值及分段三次Hermite插值
    - 4.2 三次样条插值函数
    - 4.3 三次样条插值函数的计算方法
    - 4.4 数值例子
  - §5 三次样条插值函数的性质与误差估计
    - 5.1 基本性质
    - 5.2 三次样条插值函数的误差估计
  - §6 B-样条函数
    - 6.1 三次样条函数空间
    - 6.2 三次B-样条函数
  - 习题
  - 计算实习题
- 第七章函数逼近
  - §1 正交多项式
    - 1.1 正交多项式的基本概念及性质
    - 1.2 Legendre多项式
    - 1.3 Laguerre多项式
    - 1.4 Hermite多项式
  - §2 Chebyshev多项式
    - 2.1 Chebyshev多项式基本性质
    - 2.2 极小化性质与Chebyshev多项式零点插值
  - §3 函数的最佳平方逼近
    - 3.1 最佳平方逼近的概念及计算
    - 3.2 用正交函数组作最佳平方逼近
    - 3.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近
  - §4 Padé逼近
    - 4.1 Padé逼近
    - 4.2 连分式
  - §5 数据拟合
    - 5.1 最小二乘曲线拟合及其计算
    - 5.2 多项式拟合
    - 5.3 线性化方法
    - 5.4 用正交多项式作最小二乘曲线拟合
    - 5.5 非多项式拟合
  - §6 线性最小二乘问题的解法
    - 6.1 线性最小二乘问题
    - 6.2 QR分解
    - 6.3 用QR分解求解线性最小二乘问题
  - §7 周期函数的最佳平方逼近
    - 7.1 周期函数的最佳平方逼近
    - 7.2 离散情形
    - 7.3 周期复值函数
  - §8 快速Fourier变换
    - 8.1 快速Fourier变换
    - 8.2 以2为底的FFT
  - 习题
  - 计算实习题
- 第八章数值积分与数值微分
  - §1 数值积分的基本概念
    - 1.1 代数精度
    - 1.2 插值型求积公式
  - §2 Newton-Cotes求积公式
    - 2.1 梯形公式和Simpson公式
    - 2.2 Newton-Cotes求积公式
    - 2.3 Newton-Cotes求积公式的误差分析
    - 2.4 开(型)Newton-Cotes求积公式
    - 2.5 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性
  - §3 复合求积公式
    - 3.1 复合梯形求积公式
    - 3.2 复合Simpson求积公式
    - 3.3 带有导数值的求积公式及其复合公式
  - §4 Gauss求积公式
    - 4.1 Gauss型求积公式
    - 4.2 Gauss求积方法的收敛性和稳定性
    - 4.3 Gauss-Legendre求积公式
    - 4.4 Gauss-Chebyshev求积公式
    - 4.5 Gauss-Laguerre求积公式
    - 4.6 Gauss-Hermite求积公式
  - §5 Romberg求积算法
    - 5.1 Euler-Maclaurin公式
    - 5.2 Richardson外推方法
    - 5.3 Romberg求积方法
  - §6 自适应Simpson求积方法
  - §7 奇异积分的数值计算
    - 7.1 区间截断
    - 7.2 变量替换
    - 7.3 Kontorovich奇点分离法
  - §8 数值微分
    - 8.1 数值微分公式
    - 8.2 数值微分的外推算法
  - 习题
  - 计算实习题
- 第九章常微分方程初值问题的数值解法
  - §1 常微分方程初值问题
  - §2 Euler方法
    - 2.1 Euler方法
    - 2.2 隐式Euler方法
    - 2.3 梯形方法及改进Euler方法
  - §3 显式单步法
    - 3.1 截断误差
    - 3.2 相容性
    - 3.3 收敛性
    - 3.4 关于初值的稳定性
    - 3.5 绝对稳定性
  - §4 Runge-Kutta方法
    - 4.1 用Taylor展开构造高阶数值方法
    - 4.2 显式Runge-Kutta方法
    - 4.3 显式Runge-Kutta方法的性质
    - 4.4 高阶方法与隐式Runge-Kutta方法
    - 4.5 变步长的Runge-Kutta方法
  - §5 线性多步法
    - 5.1 一般形式的线性多步法
    - 5.2 基于数值积分的方法
    - 5.3 Adams方法
    - 5.4 预估校正方法
  - §6 线性差分方程
    - 6.1 线性差分方程的基本性质
    - 6.2 齐次差分方程的解
  - §7 线性多步法的相容性､收敛性及稳定性
    - 7.1 相容性及方法的阶
    - 7.2 收敛性
    - 7.3 稳定性
    - 7.4 绝对稳定性
  - §8 一阶方程组
    - 8.1 一阶方程组
    - 8.2 高阶微分方程的初值问题
    - 8.3 刚性微分方程组
  - 习题
  - 计算实习题
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