本书是“高等教育百门精品课程教材建设计划”（此计划作为整体已列入新闻出版总署“十五”国家重点图书规划）研究成果之一，是与普通高等教育“十五”国家级规划教材《工科数学分析基础》（第二版）相配套的教学辅导书和参考书。
本书采用问与答的形式，解答了编者根据教学基本要求及长期的教学积累所整理和提炼出来的226个高等数学中的常见问题。本书共有七章，内容包括：函数、极限、连续，一元函数微分学及其应用，一元函数积分学及其应用，无穷级数，多元函数微分学及其应用，多元函数积分学及其应用，常微分方程以及附录：向量代数与空间解析几何。
本书可供学习高等数学的读者作为学习辅导书，也可供有关教师作为教学参考书，还可供报考硕士研究生的读者作为复习参考之用。
- 前辅文
- 第一章 函数､极限､连续
- 问题1.1 为什么要引入确界概念?
- 问题1.2 上确界(下确界)有哪些等价叙述?
- 问题1.3 凡是能够用一个数学式子表示的函数一定是初等函数吗?
- 问题1.4 怎样用“ε-N”语言描述limn→∞an≠A?
- 问题1.5 如果{x2n}和{x2n+1}都以A为极限(n→∞),是否必定有limn→∞xn=A?
- 问题1.6 关于实数完备性的几个命题的等价性问题.
- 问题1.7 为什么说当x→0时,函数f(x)=sinx没有极限?
- 问题1.8 复合函数求极限问题.
- 问题1.9 讨论无穷小有什么意义?
- 问题1.10 两个都不是无穷大的数列的积一定不是无穷大吗?
- 问题1.11 是否任何两个无穷小量都可以比较?
- 问题1.12 无穷大量与无界变量有什么区别?它们之间有什么关系?
- 问题1.13 函数f(x)在点a处连续有哪些等价叙述?
- 问题1.14 在一点连续的函数是否在该点的某个邻域也连续?
- 问题1.15 连续函数与不连续函数的乘积是否一定不连续?
- 问题1.16 为什么说初等函数在它的定义区间连续,而不说在定义域上连续?
- 问题1.17 是否存在在整个实数轴上点点有定义但点点不连续的函数?
- 问题1.18 如何判定函数f(x)在区间I上的一致连续性?
- 问题1.19 两个一致连续函数的乘积也一致连续吗?
- 问题1.20 如何利用压缩映射原理求极限?
- 第二章 一元函数微分学及其应用
- 问题2.1 关于导数等价定义的问题.
- 问题2.2 如果函数f(x)在x0处可导,那么是否存在x0点的一个邻域,在此邻域内f(x)也一定可导?
- 问题2.3 函数在一点可导,是否在该点的某邻域内该函数一定连续?
- 问题2.4 若函数f(x)在x0的某邻域内可导,那么其导函数f′(x)是否一定在x0处连续?
- 问题2.5 若函数y=f(x)在x=x0处左右导数都存在,那么y=f(x)在x=x0处是否一定连续?
- 问题2.6 当x→a+时,f(x)→∞与f′(x)→∞之间是否有什么必然联系?
- 问题2.7 可导的周期函数的导函数还是周期函数吗?可导的非周期函数的导函数一定不是周期函数吗?
- 问题2.8 关于函数奇偶性与导函数奇偶性之间的关系.
- 问题2.9 关于复合函数可导性的问题.
- 问题2.10 求分段函数在分界点处导数的一种典型错误.
- 问题2.11 讨论分段函数在分界点处可导性的一种错误.
- 问题2.12 符号f′+(x0)与f′(x0+0)是否有区别?
- 问题2.13 在什么条件下一定有f′+(x0)=f′(x0+0)?
- 问题2.14 若函数y=f(x)在x=x0处不可导,那么曲线y=f(x)是否在点(x0,f(x0))处不存在切线?
- 问题2.15 参数方程求导的一种典型错误.
- 问题2.16 如果f(x)在(a,b)上可导,那么其导函数f′(x)在(a,b)上是否一定连续?
- 问题2.17 微分dy=f′(x)dx中的dx是否一定要很小?
- 问题2.18 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与函数f(x)的微分dy=f′(x0)Δx有什么区别?
- 问题2.19 当Δx→0时,函数f(x)在x0点处的微分dy一定是与Δx同阶的无穷小吗?
- 问题2.20 Rolle定理结论中的f′(ξ)=0的点ξ是否一定为f(x)的极值点?
- 问题2.21 证明方程根的存在性时有哪几种常用的方法?
- 问题2.22 确定方程f(x)=0的根的个数,有哪几种常用方法?
- 问题2.23 若当x充分大以后f(x)可导,且limx→+∞f(x)=C(常数),是否必有limx→+∞f′(x)=0?
- 问题2.24 关于导函数的介值性的问题.
- 问题2.25 使用L’Hospital法则时的一种典型错误.
- 问题2.26 数列极限可以用L’Hospital法则求吗?
- 问题2.27 若函数f(x)在区间(a,b)内有f′(x)≥0(或≤),其中使等号成立的只是有限个孤立点xk,即有f′(xk)=0.问这时能断定f(x)在区间(a,b)内是严格单调增(或减)吗?
- 问题2.28 如果f′(x0)>0,由此可以断定f(x)在点x0的某邻域内单调增吗?
- 问题2.29 如果函数f(x)在x0处有极大值,能否肯定在点x的某邻域内,f(x)在x0点的左半邻域单调增加,而在x0点的右半邻域单调减少?
- 问题2.30 函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值点一定是f(x)的极大(小)值点吗?
- 问题2.31 解决最大､最小值应用问题时,应如何建立目标函数?
- 问题2.32 利用导数的知识证明不等式的方法有哪些?
- 问题2.33 如何求曲线的水平渐近线和铅直渐近线?
- 问题2.34 如何求曲线的斜渐近线?
- 第三章 一元函数积分学及其应用
- 问题3.1 怎样利用定积分计算和式的极限?
- 问题3.2 为什么说f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的必要条件?
- 问题3.3 f(x)=1x的一个原函数与不定积分究竟是什么?
- 问题3.4 连续的奇(偶)函数的原函数都是偶(奇)函数吗?
- 问题3.5 分段连续函数存在原函数吗?
- 问题3.6 f(x)在区间[a,b]上可积与f(x)在[a,b]上存在原函数是否一回事?
- 问题3.7 使用Newton-Leibniz公式的条件是什么?
- 问题3.8 怎样计算分段连续函数的定积分?
- 问题3.9 怎样求分段表示的连续函数的不定积分?
- 问题3.10 非负(正)且不恒为零的可积函数的定积分必大于(小于)零吗?
- 问题3.11 连续函数的积分中值定理中的点ξ必能在开区间内取到吗?
- 问题3.12 积分中值定理有哪些应用?
- 问题3.13 应用积分中值定理时应注意的问题.
- 问题3.14 怎样由含有未知函数f(x)的积分的方程求出f(x)?
- 问题3.15 怎样求变限积分F(x)=∫v(x)u(x)f(t)dt的导数?
- 问题3.16 怎样求函数F(x)=∫xaf(x,t)dt关于x的导数?
- 问题3.17 关于积分号下取极限的问题.
- 问题3.18 可积函数的变上限定积分都是上限的可导函数吗?
- 问题3.19 怎样求函数F(x)=∫xaf(t)dt的极值?
- 问题3.20 应用定积分换元法时应注意的问题.
- 问题3.21 怎样理解和应用定积分与其积分变量用什么字母无关这一性质?
- 问题3.22 在定积分的计算中怎样利用对称性简化计算?
- 问题3.23 怎样计算周期函数的定积分?
- 问题3.24 怎样计算含有绝对值的函数的定积分?
- 问题3.25 计算积分I=∫1(x-a)(b-x)dx(a<b)主要有哪些方法?
- 问题3.26 使用分部积分法时,怎样选取分部积分公式中的u和v?
- 问题3.27 应用分部积分法时应注意的问题.
- 问题3.28 怎样利用微元法求解定积分应用问题?
- 问题3.29 怎样利用圆柱薄壳法求旋转体的体积?
- 问题3.30 如果旋转曲线与转轴不在一个平面内,怎样求旋转体的体积?
- 问题3.31 怎样理解在换元积分中将反常积分变成为定积分?
- 第四章 无穷级数
- 问题4.1 设{Sn}为级数∞n=1an的部分和数列,若limn→+∞S2n存在,该级数是否收敛?
- 问题4.2 两级数的敛散性与它们逐项和级数的敛散性有什么关系?
- 问题4.3 发散级数加括号后所得级数一定发散吗?怎样用“加括号”的性质来判定一个级数的敛散性?
- 问题4.4 去掉或添加无限项,级数的敛散性是否发生变化?
- 问题4.5 通项趋于零与级数收敛的关系如何?
- 问题4.6 任意项级数能否用正项级数的审敛法判定其敛散性?
- 问题4.7 若an≤bn,且级数∞n=1bn收敛,则∞n=1an一定收敛吗?
- 问题4.8 正项级数的第一比较审敛法应怎样使用?
- 问题4.9 正项级数的第二比较审敛法应怎样使用?
- 问题4.10 正项级数的检比法与检根法应怎样使用?
- 问题4.11 满足an+1an<1的正项级数∞n=an是否一定收敛?满足an+1an≥1的正项级数∞n=1an是否一定发散?
- 问题4.12 判定一个正项级数的敛散性,应选取哪一个审敛法?
- 问题4.13 检比法与检根法各有什么优点?
- 问题4.14 什么是积分审敛法?积分审敛法的优缺点是什么?
- 问题4.15 当条件an≥an+1不满足时,交错级数∞n=1(-1)n-1an一定发散吗?
- 问题4.16 若∞n=1an收敛,∞n=1a2n一定收敛吗?
- 问题4.17 若∞n=1an收敛,则∞n一定收敛吗?
- 问题4.18 若任意项级数绝对收敛,则它一定条件收敛,对吗?
- 问题4.19 幂级数∞n=0cnxn在其收敛域上绝对收敛,对吗?
- 问题4.20 若幂级数∞n=0cnxn的收敛半径为R,那么∞n=0cnx2n的收敛半径是多少?
- 问题4.21 若∞n=0anxn与∞n=0bnxn的收敛半径分别为R1与R2,则∞n=0(an±bn)xn的收敛半径必为min{R1,R2},对吗?
- 问题4.22 如果n→+∞时,cncn+1的极限不存在,那么级数∞n=0cnxn的收敛半径怎样求?
- 问题4.23 f(x)在x0的某邻域内的Taylor级数是否一定收敛于f(x)?
- 问题4.24 f(x)=12-x在x=1点怎样展开成幂级数?
- 问题4.25 怎样求幂级数的和函数?
- 问题4.26 幂级数逐项求导或逐项积分后所得幂级数的收敛域与原级数是否相同?
- 问题4.27 怎样用“间接展开法”将函数展开成幂级数?
- 问题4.28 f(x)满足Dirichlet条件,那么在f(x)的间断点处,它的Fourier级数是否与f(x)一定不相等?
- 问题4.29 f(x)=x(0≤x≤π)的正弦级数在端点处的值为多少?
- 问题4.30 怎样求Fourier级数和函数在一点的值?
- 第五章 多元函数微分学及其应用
- 问题5.1 重极限三种定义的差异.
- 问题5.2 二重极限中当动点沿任何直线方向趋于定点时极限存在且相等,能否断言重极限存在?
- 问题5.3 能否用极坐标变换求二重极限?
- 问题5.4 判定二重极限不存在的常用方法有哪些?
- 问题5.5 计算二重极限有哪些常用的方法?
- 问题5.6 二元函数f(x,y)在R2上关于两个自变量x和y分别都连续,能否断言f(x,y)在R2上连续?
- 问题5.7 计算偏导数f′x(x0,y0)时,能否将y=y0代入f(x,y)中,再对x求导?
- 问题5.8 计算f′x(0,0)时,将y=0代入后再对x求导,为什么会出现矛盾呢?
- 问题5.9 二元函数连续性与可导性(即一阶偏导数都存在)之间有怎样的关系?它与一元函数的情形有何不同?
- 问题5.10 二元函数的连续性与可微性的关系如何?
- 问题5.11 二元函数可导性(即一阶偏导数都存在)与可微性之间关系如何?
- 问题5.12 二元函数的连续､可导､可微之间的关系与一元函数这几个基本概念之间的关系有何不同?
- 问题5.13 若在区域D内恒有f′y(x,y)=0,能否断言函数f(x,y)在D内的函数值与y无关?
- 问题5.14 在区域D上偏导数恒为零的条件.
- 问题5.15 有人认为求出函数z=f(x,y)的两个偏导数fy后,则fydy就是函数f(x,y)的全微分,对吗?
- 问题5.16 如何判定函数f(x,y)在点(x0,y0)处的可微性?
- 问题5.17 可导的二元函数复合后仍可导吗?
- 问题5.18 在计算复合函数的偏导数时,等式两端的zx形式相同,但含义不同.
- 问题5.19 计算抽象函数二阶偏导数时的一种典型错误.
- 问题5.20 如何利用多元函数的复合函数求导法求一元幂指函数的导数?
- 问题5.21 求隐函数的导数(或偏导数)的方法有哪些?
- 问题5.22 求隐函数的二阶偏导数用什么方法较为方便?
- 问题5.23 如何求曲线F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0在一点处的切线方程?
- 问题5.24 关于偏导数和方向导数的关系.
- 问题5.25 若f(x,y)在点M(x,y)处沿各个方向的方向导数都存在,那么f(x,y)是否一定在点M(x,y)处连续?
- 问题5.26 在一点处两个一阶偏导数都存在的二元函数在该点沿任一方向的方向导数都存在吗?
- 问题5.27 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿任一方向el=(cos θ,sin θ)(0≤θ<2π)的方向导数都存在,且fl(x0,y0)=f′x(x,y0)cos θ+f′y(x0,y0)sin θ,那么f(x,y)在点(x0,y)一定可微吗?
- 问题5.28 在有界闭区域上连续的二元函数在该区域内唯一的极值点是否一定为最值点?
- 问题5.29 二元函数在点(x0,y0)处的极值与一元函数f(x,y0)和f(x0,y)分别在x0和y0处极值的关系.
- 问题5.30 如果点(x,y)在过原点的任意一条直线L上变动时,函数z=f(x,y)都在原点处取得极小值,那么函数f(x,y)在原点是否一定取得极值?
- 问题5.31 如何求隐函数的极值?
- 问题5.32 如何利用不等式nx1x2…xn≤x1+x2+…+xnn求条件极值?
- 问题5.33 如何利用多元函数条件极值证明函数不等式?
- 第六章 多元函数积分学及其应用
- 问题6.1 在直角坐标系下,怎样将二重积分化为累次积分?
- 问题6.2 怎样交换二次积分的积分次序?交换二次积分的积分次序有何意义?
- 问题6.3 关于极坐标下二重积分的计算问题.
- 问题6.4 怎样计算由参数方程给出边界曲线的平面区域上的二重积分?
- 问题6.5 在重积分计算中,怎样利用对称性简化计算?
- 问题6.6 怎样由含有未知函数f(x,y)及f(x,y)的二重积分的方程中求出f(x,y)?
- 问题6.7 怎样利用二重积分证明定积分不等式?
- 问题6.8 怎样通过二重积分的一般换元法计算二重积分?要注意些什么问题?
- 问题6.9 二重积分计算中的广义极坐标变换是怎么一回事?何时选用这种方法计算二重积分?
- 问题6.10 为什么说在多元函数积分学中,二重积分最为基本也最为重要?
- 问题6.11 在三重积分的计算中,何时采用“先重后单”法?怎样应用这种计算法?
- 问题6.12 怎样利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分?
- 问题6.13 三重积分在柱面坐标和球面坐标下的计算与二重积分在极坐标下的计算有什么关系?
- 问题6.14 三重积分化为柱面坐标和球面坐标下累次积分错误辨析.
- 问题6.15 怎样利用微元法求引力?
- 问题6.16 两类线积分的计算法的相同之处是什么?不同之处是什么?
- 问题6.17 怎样理解两种类型面积分的联系?怎样利用这种联系转化面积分的计算?
- 问题6.18 在线(面)积分中,为什么可将积分曲线(曲面)的方程代入被积函数?
- 问题6.19 怎样理解第二型面积分I=(S)R(x,y,z)dx∧dy中的dx∧dy?
- 问题6.20 在多元函数积分中怎样利用“字母轮换性”简化计算?
- 问题6.21 怎样计算变力沿曲线所作的功?
- 问题6.22 Green公式有什么意义和用途?应用Green公式时应注意什么问题?
- 问题6.23 关于Green公式的另一形式.
- 问题6.24 怎样判别平面线积分∫(c)Pdx+Qdy是否与积分路径无关?
- 问题6.25 怎样计算与路径无关的平面第二型线积分?
- 问题6.26 怎样判别空间线积分是否与积分路径无关?
- 问题6.27 怎样计算与路径无关的空间第二型线积分?
- 问题6.28 怎样计算有势场的势函数?
- 问题6.29 Gauss公式有什么意义和用途?应用Gauss公式时应注意什么问题?
- 问题6.30 计算面积分(S)(×A)·dS主要有哪些方法?
- 问题6.31 怎样计算含参变量的积分∫+∞-∞f(x,z-x)dx?
- 第七章 常微分方程
- 问题7.1 是否所有微分方程都存在通解?
- 问题7.2 通解是否为微分方程所有解的表达式?
- 问题7.3 什么样的微分方程的通解能包含它的所有解?
- 问题7.4 当一个微分方程不能分离变量时,能否用分离变量的方法求它的通解?
- 问题7.5 形如y′=fa1x+b1y+c1ax+b2y+c2的方程怎样求解?
- 问题7.6 什么样的微分方程能化成一阶线性微分方程?
- 问题7.7 线性方程y′+P(x)y=Q(x)满足初始条件yx=x=y0的特解怎样表示?
- 问题7.8 什么是全微分方程?怎样求解全微分方程?
- 问题7.9 怎样求微分方程的积分因子?
- 问题7.10 微分方程(y4-3x2)dy+xydx=0可以用哪几种方法求得它的通解?
- 问题7.11 微分方程(y2-x2)dx-xydy=0可以用哪几种方法求得它的通解?
- 问题7.12 可降阶的二阶微分方程怎样求解?
- 问题7.13 高阶微分方程与一阶微分方程组有什么关系?
- 问题7.14 微分方程组解的积分曲线与轨线有什么关系?
- 问题7.15 什么是微分方程组的首次积分?它的几何意义是什么?
- 问题7.16 一阶线性齐次微分方程组的解x=x(t),若满足x(t0)=0,则x(t)≡0的性质有哪些用途?
- 问题7.17 怎样求非齐次线性微分方程组的一个特解?
- 问题7.18 一阶线性微分方程组怎样化为高阶线性微分方程来求解?
- 问题7.19 常系数一阶线性微分方程组的解与其系数矩阵的特征值和特征向量有什么关系?
- 问题7.20 高阶线性微分方程解的一个性质.
- 问题7.21 求二阶线性齐次微分方程特解的常数变易法.
- 问题7.22 用二阶线性微分方程的特解怎样表示它的通解?
- 问题7.23 怎样验证一个含任意常数的函数是某个线性微分方程的通解?
- 问题7.24 怎样用常数变易法求二阶线性微分方程的一个特解?
- 问题7.25 怎样设出x¨+a1x·+a2x=f(t)+g(t)特解的形式?其中f(t),g(t)均为多项式､指数函数及正弦､余弦函数的乘积.
- 附录 向量代数与空间解析几何
- 问题1 如何理解一个向量a,它与数量有何区别?
- 问题2 对于任意两个非零向量a,b,是否必有a+b≠a-b,‖a+b‖≠‖a-b‖?
- 问题3 什么是向量a在有向直线L上的投影.投影总是正的吗?
- 问题4 什么是向量a的坐标?向径的坐标与向径终点的坐标之间有何关系?
- 问题5 向量的几何表示与向量的坐标表示有何不同?
- 问题6 向量与向量的乘积是如何定义的?举例说明它们的应用.
- 问题7 非零向量a和b满足什么条件时,下列结论成立:(1) a+b平分a与b之间的夹角;(2) a+b与a-b垂直
- 问题8 如果将向量a与b沿相同方向旋转同一角度,那么它们的和､差､数量积､向量积是否改变?为什么?
- 问题9 三个非零向量a,b,c线性相关(线性无关)时,它们在几何上有何特征?
- 问题10 什么叫直线的方向向量?一条直线的方向向量唯一吗?什么叫平面的法向量?一个平面的法向量唯一吗?
- 问题11 已知空间三个点P1,P2,P3的坐标,如何利用向量的运算求这三点所构成的三角形的面积?
- 问题12 怎样利用平面束的方程求解直线与平面的相关问题?
- 问题13 怎样求经过一直线L及已知点P的平面方程?
- 问题14 如何判断两条直线是相交､异面还是重合?
- 问题15 空间直线的方程通常有几种表示形式?它们各有何特点?
- 问题16 如何求两条异面直线间的距离?
- 问题17 如何求一点P到空间直线L的距离?
- 问题18 方程F(x,y)=0在平面直角坐标系和空间直角坐标系下分别表示什么图形,它们之间有何联系?
- 问题19 一般二次方程当二次项系数不全为0时必定表示二次曲面吗?
- 问题20 如何求空间曲线L在指定坐标面上的投影曲线的方程?
- 问题21 怎样求直线L:x-11=z-12绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程?
- 问题22 三元线性方程组的解与三个对应平面间的位置关系问题.
