概率论（下册）

本书是教育部本科教育教学改革试点工作计划（“101计划”）教材，为高校数学类专业概率论课程设计，基于尽量少的预备知识，介绍该学科的基本概念、工具和方法。教材分为上、下两册：上册讲授概率论基础知识，包括概率空间、随机变量、条件分布与独立性、数学期望、特征函数、概率极限定理等；下册是关于随机过程和随机分析的引论，包括随机过程和鞅论的基本结果、更新过程、离散时间马氏链、连续时间马氏过程、随机积分和应用等。

本书读者对象为高等学校理工科大学生、研究生和科技工作者。

目录
- 前辅文
- 第一章基本概念和例子
  - 1.1 基本概念
    - 1.1.1 随机过程的定义
    - 1.1.2 轨道和修正
    - 1.1.3 有限维分布族
    - 1.1.4 左极右连修正和实现
  - 1.2 随机游动
    - 1.2.1 轨道的无界性
    - 1.2.2 首达时分布
  - 1.3 布朗运动
    - 1.3.1 背景和定义
    - 1.3.2 布朗运动的构造
    - 1.3.3 几个基本性质
  - 1.4 泊松过程
    - 1.4.1 跳跃间隔时间
    - 1.4.2 轨道的重构
    - 1.4.3 长时间极限行为
    - 1.4.4 复合泊松过程
  - 1.5 泊松随机测度
    - 1.5.1 定义和存在性
    - 1.5.2 积分和补偿的测度
    - 1.5.3 随机测度的应用
- 第二章鞅论基础
  - 2.1 预备知识
    - 2.1.1 数学期望
    - 2.1.2 条件数学期望
    - 2.1.3 流和停时
    - 2.1.4 完备化和加强化
    - 2.1.5 连续时间流
    - 2.1.6 循序可测过程
  - 2.2 鞅、上鞅和下鞅
    - 2.2.1 定义和基本性质
    - 2.2.2 杜布鞅
    - 2.2.3 局部鞅
  - 2.3 杜布停止定理
    - 2.3.1 下鞅的停止过程
    - 2.3.2 杜布有界停止定理
    - 2.3.3 非负上鞅的吸收性
  - 2.4 不等式和收敛定理
    - 2.4.1 基本不等式
    - 2.4.2 上穿不等式
    - 2.4.3 向前收敛定理
    - 2.4.4 向后收敛定理
  - 2.5 连续时间下鞅
    - 2.5.1 轨道的正则化
    - 2.5.2 有界停止定理
    - 2.5.3 下鞅不等式
- 第三章更新过程及其应用
  - 3.1 更新过程
    - 3.1.1 定义和性质
    - 3.1.2 更新方程
  - 3.2 长程极限行为
    - 3.2.1 基本更新定理
    - 3.2.2 中心极限定理
  - 3.3 更新过程的应用
    - 3.3.1 随机游动的爬升时间
    - 3.3.2 更新累积过程
- 第四章离散时间马氏链
  - 4.1 马氏性及等价形式
    - 4.1.1 简单马氏性
    - 4.1.2 条件独立性
  - 4.2 转移矩阵
    - 4.2.1 有转移矩阵的马氏链
    - 4.2.2 有限维分布性质
    - 4.2.3 强马氏性
    - 4.2.4 随机游动的反射原理
  - 4.3 状态的分类
    - 4.3.1 常返态和暂留态
    - 4.3.2 随机游动的常返性
    - 4.3.3 闭集与状态分类
    - 4.3.4 周期性
    - *4.3.5 过份函数
  - 4.4 马氏链的游程
    - 4.4.1 游程的独立性
    - 4.4.2 反射简单随机游动
    - 4.4.3 常返游动的拆解
- 第五章马氏链的遍历理论
  - 5.1 可逆性与对称性
    - 5.1.1 平稳链和可逆链
    - 5.1.2 对称测度
    - 5.1.3 对称测度的判别法
  - 5.2 弱遍历定理
    - 5.2.1 弱遍历性
    - 5.2.2 极限矩阵的表示
    - 5.2.3 平均回访时间
  - 5.3 强遍历定理
    - 5.3.1 强遍历性
    - 5.3.2 平稳链的遍历性
  - 5.4 转移矩阵的收敛性
    - 5.4.1 马氏链的独立耦合
    - 5.4.2 非周期矩阵的收敛性
    - *5.4.3 周期矩阵的收敛性
- 第六章分支过程及其应用
  - 6.1 定义和基本构造
    - 6.1.1 分支过程的定义
    - 6.1.2 临界类和矩
    - 6.1.3 带移民分支过程
  - 6.2 过程的长时间行为
    - 6.2.1 爆炸概率和灭绝概率
    - 6.2.2 几何增长率
    - 6.2.3 带移民过程的极限定理
  - *6.3 随机游动中的分支过程
    - 6.3.1 随机游动的下穿
    - 6.3.2 反射游动中的分支过程
- 第七章连续时间马氏链
  - 7.1 连续时间转移矩阵
    - 7.1.1 转移矩阵和马氏性
    - 7.1.2 右连续链的强马氏性
    - 7.1.3 转移矩阵的连续性
  - 7.2 密度矩阵
    - 7.2.1 转移矩阵的可微性
    - 7.2.2 轨道的跳跃性质
    - 7.2.3 嵌入链
  - 7.3 向前和向后方程
    - 7.3.1 向后方程
    - 7.3.2 向前方程
    - 7.3.3 最小转移矩阵
    - *7.3.4 最小链的随机方程
- 第八章连续时间马氏过程
  - 8.1 马氏转移半群
    - 8.1.1 转移核与半群
    - 8.1.2 费勒转移半群
    - 8.1.3 无穷可分分布
    - 8.1.4 卷积半群
  - 8.2 马氏性和强马氏性
    - 8.2.1 马氏性的定义
    - 8.2.2 有限维分布性质
    - 8.2.3 强马氏性
    - 8.2.4 布朗运动的强马氏性
  - 8.3 莱维过程
    - 8.3.1 独立增量性
    - 8.3.2 莱维-伊藤表示
    - 8.3.3 半群的强费勒性
- 第九章随机积分及其应用
  - 9.1 随机积分的定义
    - 9.1.1 简单过程的积分
    - 9.1.2 循序可测过程的逼近
    - 9.1.3 伊藤随机积分
  - 9.2 伊藤公式
    - 9.2.1 布朗运动的伊藤公式
    - 9.2.2 伊藤过程的伊藤公式
    - *9.2.3 局部时和田中公式
  - 9.3 随机微分方程
    - 9.3.1 解和解的唯一性
    - 9.3.2 解的存在性
    - 9.3.3 解的强马氏性
    - *9.3.4 柯西初值问题
- 参考文献
- 名词索引
- 外国人名索引

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