本书基于作者在复旦大学数学科学学院讲授泛函分析课程十多年的教学实践，详尽介绍了线性泛函分析的基础理论。从无限维线性空间的基本抽象特性入手，对线性泛函和有界线性算子的理论进行了系统的讲解，并以算子谱理论的初步知识作为结尾。在编撰过程中，融入了20世纪中期已成熟的理论，并添加了近几十年来的一些新研究成果作为例题或习题，旨在为学生深入学习现代数学理论奠定坚实的基础。
本书可作为数学类专业、特别是数学学科拔尖人才培养的泛函分析课程教材或参考书，也可直接作为拓展性较强的泛函分析课程教材。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 度量空间
- 1.1 度量空间
- 1.2 赋范线性空间及内积空间
- 1.3 Hilbert空间的正交系
- 1.3.1 Hilbert空间的正交基
- 1.3.2 投影定理
- 1.4 度量空间中的点集
- 1.4.1 稠密性和可分性
- 1.4.2 完备性
- 1.4.3 闭球套定理
- 1.5 压缩映射原理
- 1.6 列紧性
- 1.6.1 相对列紧集
- 1.6.2 Arzelà-Ascoli定理
- 1.6.3 紧度量空间
- 第二章 线性泛函
- 2.1 赋范线性空间上的线性算子
- 2.2 有界线性泛函
- 2.3 Hahn-Banach延拓定理
- 2.4 几何形式——凸集分离定理
- 2.4.1 凸集
- 2.4.2 Minkowski泛函
- 2.4.3 凸集的分离性
- 2.5 对偶空间
- 2.5.1 Lp[a; b]和C[a; b]的对偶空间
- 2.5.2 二次对偶空间与自反
- 2.5.3 弱拓扑
- 第三章 有界线性算子的基本定理
- 3.1 Baire纲定理
- 3.2 开映射定理、逆算子定理、闭图像定理和共鸣定理
- 3.2.1 开映射定理和逆算子定理
- 3.2.2 闭图像定理
- 3.2.3 共鸣定理
- 3.3 共轭算子
- 3.3.1 赋范线性空间中的共轭算子
- 3.3.2 Hilbert空间中的共轭算子
- 3.3.3 闭值域定理
- 第四章 谱理论初步
- 4.1 预解集与谱集
- 4.1.1 算子的正则点与谱点
- 4.1.2 谱的初步性质
- 4.1.3 谱半径公式
- 4.2 紧算子
- 4.3 紧算子的谱
- 4.4 自伴紧算子
- 4.5 Fredholm算子与指标
- 4.6 正规算子的谱分解
- 附录
- 附录A 度量空间中的拓扑性质
- 附录B 度量空间中的紧集
- 附录C Stone-Weierstrass定理
- 附录D 弱拓扑中的一些定理
- 附录E 局部凸空间
- 附录F Lomonosov不变子空间定理
- 附录G C*代数与正规算子谱理论
- 部分习题提示
- 参考文献
