第四版在保持第三版的基本内容的基础上，根据最新教学情况反馈和数学研究的进展，做了部分重要的修改。全书共十一章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
第四版继续保持简明易懂的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的方式。同时，适当补充了数字资源（以图标示意）。
本书可作为高等学校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
- 前辅文
- 第一篇 实变函数
- 第一章 集合
- §1 集合的表示
- §2 集合的运算
- §3 对等与基数
- §4 可数集合
- §5 不可数集合
- 第一章习题
- 第二章 点集
- §1 度量空间，n维欧氏空间
- §2 聚点，内点，界点
- §3 开集，闭集，完备集
- §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
- §5 康托尔三分集
- 第二章习题
- 第三章 测度论
- §1 外测度
- §2 可测集
- §3 可测集类
- *§4 不可测集
- 第三章习题
- 第四章 可测函数
- §1 可测函数及其性质
- §2 叶戈罗夫定理
- §3 可测函数的构造
- §4 依测度收敛
- 第四章习题
- 第五章 积分论
- §1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介
- §2 非负简单函数的勒贝格积分
- §3 非负可测函数的勒贝格积分
- §4 一般可测函数的勒贝格积分
- §5 黎曼积分和勒贝格积分
- §6 勒贝格积分的几何意义，富比尼定理
- 第五章习题
- 第六章 微分与不定积分
- *§1 维塔利定理
- §2 单调函数的可微性
- §3 有界变差函数
- §4 不定积分
- §5 斯蒂尔切斯积分
- §6 LS测度与积分
- 第六章习题
- 第二篇 泛函分析
- 第七章 度量空间和赋范线性空间
- §1 度量空间的进一步例子
- §2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
- §3 连续映射
- §4 柯西点列和完备度量空间
- §5 度量空间的完备化
- §6 压缩映射原理及其应用
- §7 线性空间
- §8 赋范线性空间和巴拿赫空间
- 第七章习题
- 第八章 有界线性算子和连续线性泛函
- §1 有界线性算子和连续线性泛函
- §2 有界线性算子空间和共轭空间
- §3 有限秩算子
- 第八章习题
- 第九章 内积空间和希尔伯特空间
- §1 内积空间的基本概念
- §2 投影定理
- §3 希尔伯特空间中的规范正交系
- §4 希尔伯特空间上的连续线性泛函
- §5 自伴算子、酉算子和正规算子
- 第九章习题
- 第十章 巴拿赫空间中的基本定理
- §1 泛函延拓定理
- §2 C［a，b］的共轭空间
- §3 共轭算子
- §4 纲定理和一致有界性定理
- §5 强收敛、弱收敛和一致收敛
- §6 逆算子定理
- §7 闭图像定理
- 第十章习题
- 第十一章 线性算子的谱
- §1 谱的概念
- §2 有界线性算子谱的基本性质
- §3 紧集和全连续算子
- §4 全连续算子的谱论
- §5 费雷德霍姆算子与指标
- 第十一章习题
- 附录一 内测度，L测度的另一定义
- 附录二 半序集和佐恩引理
- 参考书目
实变函数与泛函分析数字课程与纸质教材一体化设计，紧密配合。数字课程提供数学史料、拓展阅读类数字资源，充分运用多种媒体资源，丰富了知识的呈现形式，拓展了教材内容，在提升课程教学效果的同时，为学生提供思维与探索的空间。
