本教材根据数学分析课程教学中出现的一些新的需求而编写。全书共十二章，主要内容包含实数、序列极限、函数极限与连续、导数与微分、不定积分、微分中值定理和 Taylor 展开式、微分问题、积分、函数列与函数项级数、反常积分与含参变量积分、曲线积分与曲面积分、Fourier 级数等。
教材较详细地介绍了实数理论，以一元和多元统一的方法引入了函数的极限、导数和积分。在积分理论方面，引入了Lebesgue 积分理论并以此为基础展开后续内容的讨论。Lebesgue积分的引入使得教材能够更深入地讨论一些问题, 比如含参变量积分的性质，对变分法基本思想和 Fourier 变换基本性质的介绍也得以顺利进行。教材在内容的编排和取舍上，注重了全书的自洽性以及与数学各分支的联系。例如，给出了各基本初等函数的严格定义，按 Hausdorff 测度讨论了曲面面积的定义和计算公式等。为加强数学分析课程与其他数学课程间的联系，同时也为了把数学分析课程中的一些问题讨论得更深入更清楚，教材介绍了高等代数、常微分方程、复变函数、实变函数和泛函分析等课程中的一些简单而重要的定理，作为数学分析知识的应用。其中包括 Young 不等式，Hölder 不等式，Minkowski 不等式，摄动法，卷积，Arzelà-Ascoli 定理，凸集分离定理等。
本教材经适当删减后可作为数学类专业、特别是数学学科拔尖人才培养的数学分析课程教材或参考书，也可直接作为拓展性较强的数学分析课程教材。
- 前辅文
- 绪论
- 第一章实数
- §1 集合与映射
- 集合, 关系与映射, Descartes 乘积, 函数, 集合的势, 可数集, 不可数集, 代数数, 超越数, Bernstein 定理
- §2 第一次数学危机
- §3 实数公理系统
- 自然数公理, 数学归纳法, 实数公理系统, 实数系, 有序域的性质, 三角不等式, Newton 二项展开式, 杨辉三角,广义实数系, 区间, 单调函数, 复数域, 周期函数
- §4 实数系的构造
- 实数系的构造, Dedekind 分割, 稠密性, 上确界存在定理, 有理数, 无理数, 实数的十进制表示, n 次方根, 算术几何平均不等式, 指数函数的定义, 对数函数的定义
- §5 附录
- 构造实数系的其他典型方法, 实数系的唯一性, 序同构,实数系构造的Cantor 方法
- 第二章序列极限
- §1 数列极限
- 数列极限, 无穷级数, 无穷乘积, 数列极限的性质, 夹逼准则
- §2 无穷大量, 无穷小量, Stolz 公式
- 无穷大量, 无穷小量, 小o, 大O, 等价, 同阶, 不定型,Stolz−Ces´aro 定理
- §3 Euclid 空间中的基本概念
- 线性空间, 赋范线性空间, 度量空间, Euclid 距离, 平行四边形法则, 范数, 内点, 邻域, 外点, 边界点, 聚点, 开集, 闭集, 闭包, 稠密, 无处稠密集/疏朗集, 内积空间
- §4 Euclid 空间中的基本定理
- 确界存在定理, 单调收敛定理, 自然对数, 常数e, 闭区间套定理, 聚点原则, 致密性定理, 基本列, Cauchy 准则, 调和级数, 有限覆盖定理, Loewner 偏序, 对角线法,闭集套定理, 局部, 紧集, 完备性, 列紧集, 相对紧集, 准紧集, Euler 常数, Lebesgue 数, Lebesgue 覆盖定理
- §5 上、下极限
- §6 正项级数
- 正项级数, 正项级数收敛的基本定理, 比较判别法,Cauchy 判别法, D’Alembert 判别法, Raabe 判别法,收敛得更慢与发散得更慢的级数
- §7 任意项级数
- 任意项级数, 绝对收敛, 条件收敛, Abel 变换, Abel 判别法, Dirichlet 判别法, 交错级数, Leibniz 判别法, 幂级数,幂级数的收敛半径, Cauchy−Hadamard 公式, Cauchy乘积, Mertens 定理, 级数的重排, 累级数, 无穷乘积的收敛性
- 第三章函数极限与连续
- §1 函数极限
- 函数极限, 单侧极限, 函数极限的基本性质, Heine 定理,基本定理的对应结果, 重要数列极限的对应结果, 关于极限lim/x→0 sin x/x
- §2 连续函数
- 连续函数, 左连续, 右连续, 连续函数的四则运算, 复合函数的连续性, 基本初等函数的连续性, 反函数的连续性, 紧集上逆映射的连续性, 间断点, 一些重要的极限,ex 的无穷级数表示
- §3 连续函数的基本性质
- 道路, 连通集, 区域, 拓扑学视角下的连续性, 相对开集,相对闭集, 介值定理, 最值定理, 连续函数的有界性, 一致连续性, Rn 中范数的等价性, 代数基本定理, 不动点,压缩映射原理, 摄动法, 利用极限定义指数函数和对数函数
- §4 方向极限与累次极限
- 曲线, 方向极限, 沿曲线的极限, 累次极限, 多重极限
- 第四章导数与微分
- §1 导数与微分
- 导数的几何物理背景, 一元向量值函数的导数, 左导数,右导数, 导数与单调性, 方向导数与偏导数, 全导数, 微分, 线性变换/线性算子, 微商, 梯度, 导数的四则运算
- §2 反函数、复合函数和隐函数的导数
- 一元实函数反函数的可导性及求导公式, 复合函数的导数, 链式法则, 一阶微分形式的不变性, 隐函数求导, 基本初等函数的导数, 对数求导法
- §3 高阶导数
- 高阶导数, Leibniz 公式, 微分算子D, Ck,Ck,α 函数类, 光滑函数, Hölder 条件, Lipschitz 条件, 多重指标,多重零点
- §4 复指数函数、正弦函数和余弦函数
- 用级数定义复指数函数, 用微分方程定义正弦和余弦函数, Euler 公式
- 第五章不定积分
- §1 不定积分
- §2 变量代换法
- §3 分部积分法
- §4 有理函数不定积分
- §5 求解简单的常微分方程
- 常微分方程, 特解, 通解, 分离变量法, 初值问题, 解的最大存在区间, 一阶线性方程, 常数变易法, 积分因子法,全微分方程, 齐次方程, Bernoulli 方程
- 第六章微分中值定理和Taylor 展开式
- §1 微分中值定理
- Fermat 引理, Rolle 中值定理, Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理, 微分Darboux 定理, 凸集, 常微分方程初值问题解的唯一性
- §2 L’Hˆopital 法则
- L’Hˆopital 法则及其推广, 极限计算中的化简—— “去核” 与“去皮”
- §3 凸函数
- 凸(凹) 函数, Jensen 不等式, 割线斜率与凸性, 凸性与连续性, 中点凸(凹) 函数, 凸性与一阶导数, 支撑线(面),凸性与二阶导数, Hesse 矩阵, 对偶数, Young 不等式,离散Hölder 不等式, 离散Minkowski 不等式, 幂平均不等式, 调和平均
- §4 微分Darboux 定理与比较定理
- 微分不等式, 常微分方程比较定理, 偏微分方程比较定理
- §5 Taylor 多项式与插值多项式
- Taylor 多项式, 带Peano 型余项的Taylor 公式,Maclaurin 展开式, Taylor 展开式的唯一性, 带Lagrange型余项的Taylor 公式, Lagrange 型插值多项式, 线性方程组解的线性可加性, Runge 现象, 插值多项式的误差估计, 插值多项式, 插值函数, 函数拟合, 广义中值定理
- §6 Taylor 展开式的计算及应用
- Taylor 展开式计算的直接方法和间接方法, 利用Taylor展开式计算反函数的高阶导数, 利用Taylor 展开式计算隐函数的高阶导数, Landau 不等式, Taylor 展开式在组合问题上的应用
- 第七章微分问题
- §1 隐函数存在定理
- §2 极值问题
- 强制条件, 极值问题, 无条件极值, 一阶必要条件, 驻点, 二阶必要条件, 最小二乘法, 线性拟合, 条件极值,Lagrange 乘子法, 矩阵的诱导范数
- §3 常系数线性微分方程
- 一阶常系数线性微分方程组, 矩阵指数函数, 高阶常系数线性微分方程, 特征方程, 算子法
- §4 导数的其他应用
- Newton 切线法, 平方收敛, 平面曲线的曲率与曲率半径, 一元实函数的草图, 拐点
- 参考文献
- 索引
