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计算共形几何 (理论篇)

样章
作者：
顾险峰、丘成桐
定价：
148.00元
ISBN：
978-7-04-053928-8
版面字数：
640.000千字
开本：
16开
全书页数：
暂无
装帧形式：
精装
重点项目：
暂无
出版时间：
2020-05-28
读者对象：
学术著作
一级分类：
自然科学
二级分类：
数学与统计
三级分类：
几何分析

计算共形几何是跨领域的交叉学科，它将现代几何拓扑理论与计算机科学相融合，将经典微分几何、Riemann面理论、代数拓扑、几何偏微分方程的概念、定理和方法推广至离散情形，转换成计算机算法，广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计、数字几何处理、计算机网络、计算力学、机械设计以及医学影像等领域中。

本书由丘成桐先生和顾险峰教授共同编写，立意深远——以初等数学概念为基础，以现代理论为目的，有机组织庞大丰富的知识体系，贯穿诸多数学分支，横跨数学和计算机科学，同时满足数学家和工程师的迫切需求。本书可供高等院校数学、计算机等各相关专业的广大师生参考，亦可供互联网开发、计算机视觉、人工智能、医学影像、建筑设计等领域的工程师和专业人士参考。

  • 前辅文
  • 第一章计算共形几何简介
    • 1.1 理论简介
    • 1.2 应用简介
  • 第一部分代数拓扑
    • 第二章基本群的概念
      • 2.1 基本概念
      • 2.2 基本群的表示
        • 2.2.1 词群表示
        • 2.2.2 基本群的典范表示
      • 2.3 基本群的计算方法
        • 2.3.1 图的基本群
        • 2.3.2 曲面的基本群
      • 2.4 一般拓扑空间的基本群
        • 2.4.1 CW-胞腔分解
        • 2.4.2 Seifert-van Kampen 定理
        • 2.4.3 纽结的基本群
      • 2.5 覆盖空间的理论
        • 2.5.1 覆盖空间
        • 2.5.2 映射的提升
        • 2.5.3 拓扑, 代数关系
        • 2.5.4 一般覆盖空间
    • 第三章光滑同伦
      • 3.1 正则封闭曲线和正则同伦
      • 3.2 环绕数
      • 3.3 单位切丛的同伦群
      • 3.4 球面曲线正则同伦
      • 3.5 曲面横截相交
      • 3.6 六面体网格生成
    • 第四章同调群
      • 4.1 基本方法
      • 4.2 单纯同调理论
      • 4.3 单纯复形和边缘算子
      • 4.4 单纯同调群
      • 4.5 同调群的计算
      • 4.6 伦型不变量
        • 4.6.1 单纯映射
        • 4.6.2 链映射
        • 4.6.3 链同伦
      • 4.7 环柄圈和隧道圈算法
    • 第五章上同调理论
      • 5.1 上同调群的直观解释
      • 5.2 单纯上同调群
      • 5.3 上下同调群的对偶
      • 5.4 外微分的概念
      • 5.5 de Rham 上同调的概念
      • 5.6 拉回上同调群同态
      • 5.7 上同调群的计算
      • 5.8 Brouwer 不动点定理
      • 5.9 Lefschetz 不动点定理
      • 5.10 不动点类理论
      • 5.11 Poincaré-Hopf 定理
    • 第六章上同调的Hodge 理论
      • 6.1 物理解释
      • 6.2 Hodge 星算子
      • 6.3 Hodge 理论
      • 6.4 离散Hodge 理论
    • 第七章相对同调Mayer-Vietoris 序列
      • 7.1 相对同调和切除定理
      • 7.2 约化同调
      • 7.3 Mayer-Vietoris 序列
      • 7.4 Jordan-Brouwer 分离定理
  • 第二部分单复变函数的几何理论
    • 第八章正规函数族
      • 8.1 正规函数族的概念
      • 8.2 全纯函数收敛到全纯函数
      • 8.3 单叶函数收敛到单叶函数
      • 8.4 Montel 定理
    • 第九章几何畸变估计
      • 9.1 全纯函数族
      • 9.2 Gronwall 面积估计定理
      • 9.3 Koebe 畸变定理
    • 第十章Riemann 映射
      • 10.1 Riemann 映射定理
      • 10.2 唯一性证明
      • 10.3 存在性证明
      • 10.4 Riemann 映射的计算方法
        • 10.4.1 Schwarz-Christoffel 映射
        • 10.4.2 全纯微分形式的方法
        • 10.4.3 离散Ricci 流
    • 第十一章拓扑环带的典范共形映射
      • 11.1 共形映射的存在性和唯一性
      • 11.2 拓扑环带的全纯微分方法
      • 11.3 拓扑环带的Ricci 流方法
    • 第十二章拓扑四边形的极值长度
      • 12.1 极值长度
        • 12.1.1 共形不变量
        • 12.1.2 平直度量是极值度量
        • 12.1.3 平直度量存在性
      • 12.2 拓扑环带
      • 12.3 组合理论
        • 12.3.1 存在性和唯一性
        • 12.3.2 方块填充
      • 12.4 拓扑四边形共形模的计算方法
        • 12.4.1 拓扑四边形的全纯微分方法
        • 12.4.2 拓扑四边形的Ricci 流方法
    • 第十三章多连通区域的狭缝映射
      • 13.1 狭缝映射的存在性(Hilbert 定理)
        • 13.1.1 Bieberbach 定理的推论
        • 13.1.2 狭缝映射
      • 13.2 狭缝映射的全纯微分形式计算方法
        • 13.2.1 恰当调和形式群
        • 13.2.2 封闭非恰当调和形式群
        • 13.2.3 全纯微分形式
        • 13.2.4 狭缝映射
    • 第十四章多连通区域到圆域的共形映射
      • 14.1 Schwarz 反射原理
      • 14.2 多重镜像反射
      • 14.3 圆域映射的唯一性
      • 14.4 圆域映射的存在性
    • 第十五章Koebe 迭代算法的收敛性
      • 15.1 拓扑环带面积周长估计
      • 15.2 解析延拓
      • 15.3 误差估计
    • 第十六章单值化定理的古典证明
      • 16.1 Liouville 定理
      • 16.2 新月– 满月引理
      • 16.3 单值化定理
    • 第十七章共形几何的概率解释
      • 17.1 调和测度
      • 17.2 Brown 运动和共形变换
      • 17.3 最大双曲圆盘填充
      • 17.4 组合单值化定理
      • 17.5 概率解释
  • 第三部分曲面论和几何逼近论
    • 第十八章曲面论
      • 18.1 曲面的标架和活动标架法
      • 18.2 曲面的微分式及其几何
      • 18.3 曲面的基本不变式
      • 18.4 Gauss-Bonnet 定理
      • 18.5 共形形变
      • 18.6 协变微分
    • 第十九章离散曲面
      • 19.1 多面体曲面
      • 19.2 欧氏Delaunay 三角剖分
      • 19.3 微分余弦定理
    • 第二十章几何逼近理论
      • 20.1 曲率测度
      • 20.2 管状邻域体积
      • 20.3 离散法丛
      • 20.4 不变二次微分式
      • 20.5 Delaunay 加细算法
      • 20.6 逼近误差估计
      • 20.7 离散逼近定理的证明
  • 第四部分调和映射
    • 第二十一章拓扑圆盘的调和映射
      • 21.1 调和函数的物理意义
      • 21.2 调和函数的均值定理
      • 21.3 调和函数的共形不变性
      • 21.4 微分同胚性质
    • 第二十二章拓扑球面的调和映射
      • 22.1 非线性热流方法
        • 22.1.1 外蕴法
        • 22.1.2 内蕴法
      • 22.2 调和映射和共形映射的关系
    • 第二十三章调和映射理论
      • 23.1 Sobolev 空间的基本概念
      • 23.2 Cα 正则性理论
      • 23.3 调和映射的概念
      • 23.4 Hopf 微分
      • 23.5 调和映射的存在性
        • 23.5.1 Courant-Lebesgue 引理
        • 23.5.2 调和映射的最大值原则
        • 23.5.3 Dirichlet 问题
        • 23.5.4 全局调和映射的存在性
      • 23.6 调和映射的正则性
      • 23.7 Bochner 公式
      • 23.8 调和微分同胚
      • 23.9 调和映射的唯一性
    • 第二十四章调和映射的计算方法
  • 第五部分Riemann 面
    • 第二十五章Riemann 面理论基础
      • 25.1 Riemann 面
      • 25.2 覆盖空间
      • 25.3 Riemann 面上的全纯和亚纯1-形式
      • 25.4 除子
      • 25.5 Riemann-Roch 定理
      • 25.6 亚纯微分
      • 25.7 全纯1-形式的计算
    • 第二十六章全纯二次微分
      • 26.1 全纯1-形式
      • 26.2 叶状结构
      • 26.3 广义调和映射
    • 第二十七章Teichmüller 空间
      • 27.1 曲面映射类群
      • 27.2 模空间和Teichmüller 空间
      • 27.3 Teichmüller 度量
      • 27.4 拓扑环面的模空间
      • 27.5 Teichmüller 空间坐标
    • 第二十八章拟共形映射
      • 28.1 拟共形映射, Beltrami 系数和伸缩商
      • 28.2 Beltrami 方程
      • 28.3 等温坐标
      • 28.4 从共形结构到Riemann 度量
    • 第二十九章Teichmüller 映射
      • 29.1 极值长度的变分
      • 29.2 最小模原理
      • 29.3 二次微分诱导的高度
      • 29.4 Reich-Strebel 不等式
      • 29.5 Teichmüller 映射的唯一性
      • 29.6 Teichmüller 存在性定理
      • 29.7 无穷小平庸Beltrami 微分
      • 29.8 Teichmüller 映射和调和映射
        • 29.8.1 目标度量变分
        • 29.8.2 源共形结构变分
  • 第六部分双曲几何
    • 第三十章双曲几何
      • 30.1 平面双曲几何
        • 30.1.1 双曲测地线和双曲等距变换
        • 30.1.2 复交比
        • 30.1.3 理想双曲三角形
        • 30.1.4 Poincaré 圆盘模型
        • 30.1.5 极限圆
      • 30.2 双曲正弦、余弦定理
      • 30.3 曲面的双曲结构
      • 30.4 Thurston 的剪切坐标
      • 30.5 Penner 的 -长度坐标
        • 30.5.1 带装饰的双曲度量
        • 30.5.2 角度坐标
    • 第三十一章双曲多面体
      • 31.1 双曲理想四面体
      • 31.2 双曲多面体的体积
      • 31.3 Shl?fli 体积微分公式
  • 第七部分曲面Ricci 流
    • 第三十二章连续曲面Ricci 流
      • 32.1 Yamabe 方程
      • 32.2 Ricci 流方程
      • 32.3 Ricci 流解的存在性
      • 32.4 曲率的先验估计
      • 32.5 收敛性
    • 第三十三章离散曲面Ricci 流
      • 33.1 顶点缩放变换
      • 33.2 离散熵能量
      • 33.3 离散熵能量的几何解释
      • 33.4 离散曲面Ricci 流算法
    • 第三十四章多面体度量到双曲度量的转换
      • 34.1 多面体度量到完备双曲度量
      • 34.2 多面体度量到带装饰的双曲度量
      • 34.3 带装饰的双曲Delaunay 三角剖分
      • 34.4 顶点缩放操作对双曲度量的影响
    • 第三十五章离散曲面Ricci 曲率流解的存在性
      • 35.1 存在性定理陈述
      • 35.2 多面体度量的Teichmüller 空间
      • 35.3 带装饰的双曲度量的Teichmüller 空间
      • 35.4 完备双曲度量的Teichmüller 空间
      • 35.5 Teichmüller 空间之间的微分同胚
      • 35.6 存在性证明
    • 第三十六章离散曲面曲率流解的收敛性
      • 36.1 收敛性定理
      • 36.2 主要技术工具
      • 36.3 证明框架
    • 第三十七章双曲Yamabe 流
      • 37.1 双曲背景几何
      • 37.2 双曲离散曲面曲率流
      • 37.3 双曲离散曲率流的应用
    • 第三十八章通用离散曲面Ricci 流理论
      • 38.1 通用理论框架
      • 38.2 相切圆盘填充的构形
      • 38.3 推广圆盘填充构形
      • 38.4 离散曲面Ricci 流
      • 38.5 离散熵能量的几何解释
        • 38.5.1 欧氏背景几何下逆向距离圆盘填充构形
        • 38.5.2 双曲背景几何下逆向距离圆盘填充构形
        • 38.5.3 球面背景几何下逆向距离圆盘填充构形
        • 38.5.4 双曲几何虚半径圆盘填充构形
      • 38.6 逆向距离的几何解释
      • 38.7 Hesse 矩阵的几何解释
        • 38.7.1 欧氏背景几何
        • 38.7.2 双曲、球面背景几何
      • 38.8 双曲正弦、余弦定理
  • 参考文献
  • 名词索引
  • 视频索引
  • 算法演示
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