本书以“数形结合”和“数学模型”的主线贯穿了高中数学教学中的核心问题，共30个问题和30个话题。“问题篇”阐述了高中数学内容的本质及其所蕴含的数学思想；“话题篇”侧重数学知识的拓展、数学内容产生的背景、数学内容之间的关联，并用较大篇幅介绍了高中数学课程标准所要求的数学模型。
本书充分体现高中数学课程标准的基本理念，有助于读者理解内容的数学本质、感悟内容的数学思想。可以作为高中数学教师校本研修的教材或参考书，为高中数学教学、大学数学教学、数学教学研究提供参考。
- 前辅文
- 问题篇
- 第一部分 函数与导数
- 问题1 集合的本质是什么？
- 数量与数量关系的抽象/数学的基本语言/从数量到数字/从数字到字母/从字母到集合/集合的定义是形式化的/集合是由元素唯一确定的
- 问题2 为什么要用对应关系重新定义函数？
- 初中阶段函数定义至少存在两个不确切/如何把握函数的形式/如何研究函数的性质/用对应关系定义函数/对应关系定义函数需要注意的问题
- 问题3 如何理解指数函数和对数函数？
- 指数函数最初的含义就是一个数自乘的表达/等比数列通项/从离散到连续的演变/对数函数与指数函数互为反函数/对数函数源于现实计算的需要/常用对数
- 问题4 为什么要借助单位圆重新定义三角函数？
- 三角函数源于三角形边角关系的表达/勾股定理与余弦定理的关系/作为函数形式的三角函数/弧度制的核心是用实数刻画角的大小/三角函数的周期性非常重要
- 问题5 如何认识极限？
- 极限是一种运算/从有限到无限、从平直到弯曲/通过自然对数理解极限/用数学语言表达极限运算/数列极限收敛的充要条件
- 问题6 如何理解函数的连续性？
- 连续性是函数的一种分类标准/连续性是函数可以求导数的必要条件/实数具有连续性/函数连续性的直观表达/函数连续性的形式表达/利用离散表述连续
- 问题7 如何理解导数？
- 导数的核心是极限运算/用导数表示运动物体的瞬时速度/用静态计算刻画动态过程的瞬间/用导数表示曲线上某一点的切线/用割线斜率的极限刻画切线的斜率
- 问题8 为什么通过导数可以研究函数的性质？
- 导函数与原函数自变量相同/用线性函数表示函数的微小变化/导数是线性函数的斜率/用导数判断函数的单调性/用导数判断函数的极值点/用导数判断函数的周期性
- 问题9 为什么说牛顿-莱布尼茨公式非常重要？
- 积分是连续曲线下的面积，是“以直代曲”的典范/积分与微分之间的逻辑桥梁/积分与微分之间的逻辑关系/数学对称之美/积分与导数之间的互逆
- 问题10 为什么实数可以比较大小，而复数却不能比较大小？
- 自然数是对数量的抽象/自然数大小关系源于数量多少关系/三歧性定理表示自然数的大小关系具有传递性/实数的大小关系/复数不能比较大小
- 第二部分 几何与代数
- 问题11 如何用几何的方法研究代数？
- 算术符号是文字化的图形/几何图形则是图像化的公式/线段的加减/垂线与平行线/线段的乘除/线段的平方根/古希腊学者欢欣鼓舞
- 问题12 什么是不可作图问题？
- 有些问题用尺规作图是不能解决的/尺规作图可能实施的范围是代数数/不能三等分角/阿基米德的设想/不能三等分60°角/不能化圆为方
- 问题13 如何理解向量？如何用向量的投影表示物体受力？
- 向量的概念来自物理学/力的平行四边形法则/向量的几何表达与运算/向量的代数表达与运算/向量的投影与物体的受力状况
- 问题14 如何理解向量的数量积与矢量积？
- 向量的数量积/向量数量积的几何意义/向量的长度/向量的夹角/两点间的距离/数量积与物理学的功/矢量积的数学意义与物理意义
- 问题15 如何利用向量刻画线性空间的基本概念？
- 向量的线性无关与线性空间的基底/基于基底的向量线性表出构建了向量空间与线性代数之间的桥梁/通过代数的语言确切地表达几何学的基本概念/n维空间的超平面
- 问题16 行列式运算是如何规定的？如何用行列式表达方程组的解？
- 用行列式判断和表达方程组的解/二维行列式：平行四边形的面积/三维行列式：平行六面体的体积/用行列式表达线性方程组的解，即克莱姆法则
- 问题17 矩阵运算是如何规定的？如何用矩阵求线性方程组的解？
- 二维向量与二维矩阵/矩阵和行列式/如何规定矩阵运算法则/矩阵乘法不满足交换律/单位矩阵/逆矩阵/正交矩阵/用矩阵表示线性方程组的解
- 问题18 线性变换的本质特征是什么？为什么用矩阵可以刻画线性变换？
- 刻画图形全等：图形运动与线性变换/两点间距离是刚体变换的不变量/三种变换与刚体变换/平移变换/旋转变换/反射变换
- 问题19 如何理解距离？如何理解向量的投影？
- 距离的一般定义/距离的三条共性/基于正定矩阵的距离/基于绝对值的距离/基于距离的向量投影/向量投影是向量到子空间的最短距离/投影与样本均值
- 问题20 为什么古希腊学者称圆锥曲线为“齐曲线”“亏曲线”“盈曲线”？
- 圆锥曲线的定义/三种圆锥曲线的原始定义/亏曲线：椭圆/盈曲线：双曲线，齐曲线：抛物线/圆锥曲线与动点的轨迹
- 第三部分 概率与统计
- 问题21 如何理解随机事件？如何表达和刻画随机事件的概率？
- 随机现象/随机现象的数学特征：一种被称为概率的度量/概率的数学表达：样本空间和随机事件/概率的性质与运算/概率是随机事件的固有属性/自然齐一性原理
- 问题22 如何理解条件概率？如何理解随机事件的独立性？
- 条件概率的数学表达/条件概率与无条件概率大小的比较：如何理解条件概率中的条件/两个随机事件的独立性/根据定义计算两个独立事件的概率/三个随机事件的独立性
- 问题23 什么是随机变量？如何得到随机变量的分布？
- 随机变量与函数变量的共性与区别/概率空间/随机事件对应于随机变量的具体取值/构建随机变量的导出空间/随机变量是可测映射/进行度量：得到随机变量的分布函数/建立导出概率空间的必要性
- 问题24 什么是离散型随机变量？二项分布是如何得到的？
- 离散型随机变量的分布/伯努利模型：只有两个可能结果/随机变量的两重性/二项分布的推导
- 问题25 什么是连续型随机变量？正态分布是如何得到的？
- 连续型随机变量的分布/密度函数/分布函数/随机误差模型/随机误差正负抵消、和为零/最大似然原理：正态分布的推导
- 问题26 统计学与数学的区别是什么？应当如何理解统计学？
- 通过数据验证假设、估计概率/统计学与数学的区别/如何理解统计学/描述统计学/推断统计学/统计学的定义
- 问题27 为什么不能用频率的极限定义概率？
- 用频率极限定义概率的方法与理由/随机变量序列的收敛法则/弱大数定律/强大数定律/依概率1发生并不等价于必然发生/用频率估计概率
- 问题28 如何理解估计？如何理解估计的有效性？
- 统计空间/参数估计/非参数估计/几个重要的统计数字特征值/参数估计的方法：最大似然估计/非参数估计的方法：矩估计/基于损失函数的估计
- 问题29 如何理解检验问题？如何理解列联表的独立性检验？
- 判断药物的有效性/统计检验的基本思想/统计检验的一般数学表达/列联表的检验/优比检验/拟合优度检验/皮尔逊卡方检验统计量
- 问题30 如何理解线性统计模型？如何理解回归模型？
- 线性统计模型中的系数是未知的/线性方程组与随机误差/线性统计模型的参数估计/回归模型/条件均值/正态分布与线性回归模型/皮尔逊相关系数
- 话题篇
- 话题1 关于集合的故事
- 话题2 关于ZF集合论公理体系
- 话题3 选择公理的必要与困惑
- 话题4 函数定义的演变过程
- 话题5 基本初等函数的形式化定义
- 话题6 微积分形成过程与极限理论确立
- 话题7 实数理论的确立
- 话题8 复数、四元数与麦克斯韦方程
- 话题9 几何基本概念与几何公理体系
- 话题10 再论几何学的思维基础与基本概念
- 话题11 罗巴切夫斯基几何及其现实意义
- 话题12 黎曼几何及其现实意义
- 话题13 经纬线、地图与坐标系
- 话题14 极坐标与圆锥曲线的统一表达
- 话题15 二次曲线分类、几何变换与不变性质
- 话题16 时空模型与几何、时空变换与不变量
- 话题17 伽利略是如何得到自由落体方程的
- 话题18 开普勒是如何得到行星运动轨迹的
- 话题19 牛顿万有引力定律与开普勒定律的关系
- 话题20 爱因斯坦狭义相对论和广义相对论
- 话题21 投入产出模型：线性方程组解的存在及其意义
- 话题22 凯恩斯经济模型：从静态的到动态的
- 话题23 人口增长模型：为什么是指数形式？
- 话题24 养老金模型：如何思考社会问题
- 话题25 环境指数模型：如何表达多样性
- 话题26 优化模型：不能两全事物的决策
- 话题27 估计的三种优良性准则
- 话题28 孟德尔遗传学与统计检验
- 话题29 偶然与必然的关系
- 话题30 原因与结果的关系
