本书由两部分组成，第一部分包含经典的欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，以及曲面的内蕴几何，这一部分可以用48课时完成。第二部分包含微分流形上的微积分理论，这是现代几何的基本内容，以及一些专题内容。全书需72课时讲授完，结构上尽力满足不同层次的微分几何课程教学要求。
全书一方面增加现代几何学的发展介绍，强调现代微分几何的观点，将现代微分几何中一些重要主题作为选讲和选读内容；另一方面，在一定程度上强调基本的几何事实和几何思想，尽量采用更加朴素的证明方式，而不局限于方法技巧。同时，把习题融入正文中，这样能更好地辅助理解。
本书可以作为综合性大学、理工科大学和高等师范类院校的微分几何课程教材。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 曲线和曲面的局部理论
- 1.1 正则曲线及其弧长参数化
- 1.2 曲线的曲率和挠率
- 1.3 Frenet-Serret公式与曲线论基本定理
- 1.4 正则曲面及其第一基本形式
- 1.4.1 正则曲面
- 1.4.2 第一基本形式
- 1.4.3 坐标变换与等距
- 1.5 第二基本形式、Gauss曲率和平均曲率
- 1.5.1 Gauss映射与Weingarten变换
- 1.5.2 法曲率
- 1.5.3 主曲率、Gauss曲率与平均曲率
- 1.6 Gauss绝妙定理与曲面论基本定理
- 1.6.1 自然标架的运动方程
- 1.6.2 Gauss-Codazzi方程与绝妙定理
- 1.6.3 曲面论基本定理
- 第二章 曲面的内蕴几何
- 2.1 曲面内蕴几何概述
- 2.2 Riemann度量
- 2.2.1 切平面
- 2.2.2 余切平面
- 2.2.3 Riemann度量
- 2.3 Levi-Civita联络与协变导数
- 2.3.1 协变导数与协变微分
- 2.3.2 平行移动
- 2.3.3 R3中曲面的协变导数
- 2.4 测地线
- 2.4.1 测地线的概念
- 2.4.2 测地曲率
- 2.4.3 指数映射
- 2.4.4 法坐标与测地极坐标
- 2.5 曲面内蕴曲率
- 2.5.1 曲率张量
- 2.5.2 Gauss曲率的内蕴定义
- 2.5.3 曲率张量与协变导数
- 2.6 活动标架与结构方程
- 2.6.1 曲面上的微分形式
- 2.6.2 外微分法与正交活动标架
- 2.6.3 R3中的正交活动标架
- 2.7 常Gauss曲率曲面
- 2.8 Gauss-Bonnet公式
- 第三章 微分流形
- 3.1 什么是微分流形
- 3.1.1 抽象流形
- 3.1.2 光滑映射
- 3.1.3 切空间
- 3.2 向量场与积分曲线
- 3.3 李导数
- 3.4 外微分和Stokes定理
- 3.4.1 向量空间中的张量积和外积
- 3.4.2 微分形式和张量场
- 3.4.3 外微分
- 3.4.4 单位分解
- 3.4.5 流形的定向
- 3.4.6 流形上的积分
- 3.4.7 Stokes公式
- 第四章 专题选讲
- 4.1 极小曲面
- 4.1.1 R3中的极小曲面方程
- 4.1.2 面积泛函的极小性
- 4.1.3 Rn中的极小曲面方程
- 4.1.4 R3中的极小曲面
- 4.1.5 极小曲面的调和函数刻画
- 4.1.6 稳定极小曲面
- 4.1.7 Bernstein定理
- 4.2 整体微分几何
- 4.2.1 二维流形的拓扑
- 4.2.2 二维Riemann流形
- 4.2.3 弧长变分
- 4.2.4 第一变分公式的应用
- 4.2.5 Hopf-Rinow定理
- 4.2.6 余弦定理和Toponogov比较定理
- 4.3 李群和齐性空间初步
- 4.3.1 一些重要例子
- 4.3.2 李代数
- 4.3.3 齐性空间
- 4.3.4 李群在算法中的应用
- 4.4 Alexandrov几何简介
- 4.4.1 公理化曲率
- 4.4.2 Hausdorff维数
- 4.4.3 Gromov-Hausdorff收敛
- 4.5 一些未解决的问题
- 参考文献
- 索引
