本书共十章，第一章至第五章为第一部分，系统讲述了三维欧氏空间中曲线、曲面的局部几何理论和曲面的内蕴几何学，这部分内容可作为数学类专业本科生微分几何必修课教材；第六章至第十章为第二部分，介绍有关曲线和曲面整体理论的一些基本结果，是整体微分几何一些经典问题选讲，它涉及数学的其他领域，可作为高年级本科生和研究生的专业课教材、教学参考书或课外阅读材料。
- 前辅文
- 第一部分 曲线与曲面的局部微分几何
- 第一章 欧氏空间
- 1.1 向量空间
- 1. 向量空间
- 2. 向量分析
- 1.2 欧氏空间
- 1. 向量的运算
- 2. 坐标与坐标变换
- 3. 合同变换
- 4. 正交标架与合同变换群
- 习题一
- 第二章 曲线的局部理论
- 2.1 曲线的概念
- 2.2 平面曲线
- 2.3 $E ^3$的曲线
- 2.4 曲线论基本定理
- 习题二
- 第三章 曲面的局部理论
- 3.1 曲面的概念
- 1. 曲面的概念
- 2. 切平面与法向
- 3.2 曲面的第一基本形式
- 3.3 曲面的第二基本形式
- 3.4 法曲率与Weingarten~(魏因加滕)变换
- 3.5 主曲率与Gauss曲率
- 3.6 曲面的一些例子
- 1. 旋转曲面
- 2. 直纹面与可展曲面
- 3. 全脐点曲面
- 习题三
- 第四章 标架与曲面论基本定理
- 4.1 活动标架
- 4.2 自然标架的运动方程
- 4.3 曲面的结构方程
- 4.4 曲面的存在惟一性定理
- 4.5 正交活动标架
- 4.6 曲面的结构方程(外微分法)
- 1. 外微分形式
- 2. 曲面的结构方程
- 3. $E^3$的正交标架与曲面的部分标架
- 习题四
- 第五章 曲面的内蕴几何学
- 5.1 曲面的等距变换
- 5.2 曲面的协变微分
- 5.3 测地曲率与测地线
- 5.4 测地坐标系
- 1. 测地平行坐标系
- 2. 测地极坐标系和法坐标系
- 5.5 Gauss-Bonnet~(高斯\bzx 博内)公式
- *5.6 曲面的Laplace算子
- *5.7 Riemann度量
- 1. Riemann度量
- 2. 结构方程
- 3. 切向量场
- 4. 协变微分
- 5. 测地曲率
- 习题五
- 第二部分 整体微分几何选讲
- 第六章 平面曲线的整体性质
- 6.1 平面的闭曲线
- 1. 切线的旋转指数定理
- 2. 等周不等式与圆的几何特性
- 6.2 平面的凸曲线
- 1. Minkowski~(闵可夫斯基)问题
- 2. 四顶点定理
- 第七章 曲面的若干整体性质
- 7.1 曲面的整体描述
- 7.2 整体的Gauss-Bonnet公式
- 1. 曲面的三角剖分
- 2. Gauss-Bonnet公式
- 3. Gauss-Bonnet公式的应用
- 7.3 紧致曲面的Gauss映射
- 1. 紧致曲面的绝对全曲率
- 2. 空间曲线的全曲率
- 7.4 凸曲面
- 1. 凸曲面
- 2. 积分公式
- 3. 球面的特性
- 4. 凸曲面的刚性
- 5. 凸曲面的Minkowski问题
- 7.5 曲面的完备性
- 第八章 常Gauss曲率曲面
- 8.1 常正Gauss曲率曲面
- 8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon~(戈登)方程
- 8.3 Hilbert定理
- 8.4 B\"acklund~(贝克隆)变换
- 1. 线汇与焦曲面
- 2. B\"acklund变换
- 第九章 常平均曲率曲面
- 9.1 Hopf微分与Hopf定理
- 9.2 Alexsandrov惟一性定理
- 9.3 附录:常平均曲率环面
- 第十章 极小曲面
- 10.1 极小图
- 10.2 极小曲面的Weierstrass表示
- 10.3 极小曲面的Gauss映射
- 10.4 面积的变分与稳定极小曲面
- 索引
