本书起点低, 但内容丰富, 包括了现代数论的基本知识, 如: 椭圆曲线、p 进数、代数数域、局部{整体方法等。该书的主要目标是证明数论的顶峰之一: 类域论。在以往的数论书籍中, 代数数论、椭圆曲线、类域论是分开的三本书, 但本书在有限的篇幅内,将三者巧妙地融为一体, 使读者能很快地达到数论的一个顶峰。开篇通过介绍Fermat的工作, 给出了现代数论的一些定理的背景和意义。对于初学者难以掌握的类域论, 专门有一章介绍类域论的背景和主要定理的意义。类域论的主要定理通过应用³ 函数计算Brauer 群而得到证明。本书的另一特点是先承认一些结论, 然后推导出一些进一步的结果, 而将它们的证明放在一起一个一个地进行。
本书的第零章通过介绍Fermat 的工作和结果, 从而窥见丰富的、深奥的数的世界。第一章以Fermat 的工作为起点, 介绍椭圆曲线的基本知识。第二章介绍p 进数及二次曲线的Hasse 原理。第三章介绍了³ 函数在整点的特殊值。这几章适合于仅知道群、环、域概念的低年级本科生。后面几章关于代数数论和类域论的内容适合于高年级本科生和研究生学习。
- 目录
- 前辅文
- 中文版序言
- 前言
- 写在单行本发行之际
- 理论的概要及目标
- 数学记号与用语
- 第零章 序------ Fermat 和 数论
- 0.1 Fermat 以前
- 0.2 素数与二平方和
- 0.3 p=x^{2 +2y^{2 ,p=x^{2 +3y^{2 ,
- 0.4 Pell 方程
- 0.5 3 角数, 4 角数, 5 角数,
- 0.6 3角数, 平方数, 立方数
- 0.7 直角三角形与椭圆曲线
- 0.8 Fermat 大定理
- 习题
- 第一章 椭圆曲线的有理点
- 1.1 Fermat 与椭圆曲线
- 1.2 椭圆曲线的群结构
- 1.3 Mordell 定理
- 小结
- 习题
- 第二章 二次曲线与p 进数域
- 2.1 二次曲线
- 2.2 同余式
- 2.3 二次曲线与二次剩余符号
- 2.4 p 进 数域
- 2.5 p 进数域的乘法构造
- 2.6 二次曲线的有理点
- 小结
- 习题
- 第三章 ζ
- 3.1 ζ 函数值的三个奇特之处
- 3.2 在正整数处的值
- 3.3 在负整数处的值
- 小结
- 习题
- 第四章 代数数论
- 4.1 代数数论的方法
- 4.2 代数数论的核心
- 4.3 虚二次域的类数公式
- 4.4 Fermat 大定理与Kummer
- 小结
- 习题
- 第五章 何谓类域论
- 5.1 类域论的现象的例子
- 5.2 分圆域 与二次域
- 5.3 类域论概述
- 小结
- 习题
- 第六章 局部与整体
- 6.1 数与函数的惊人类似
- 6.2 素点与局部域
- 6.3 素点与域扩张
- 6.4 阿代尔(adele)环与伊代尔(idele)群
- 小结
- 习题
- 第七章 ζ (II)
- 7.1 ζ 的出现
- 7.2 Riemann ζ 与 DirichletL
- 7.3 素数定理
- 7.4 Fp [T]的情形
- 7.5 Dedekind ζ 与 HeckeL
- 7.6 素数定理的一般程式
- 小结
- 习题
- 第八章 类域论(II)
- 8.1 类域论的内容
- 8.2 整体域和局部域上的可除代数
- 8.3 类域论的证明
- 小结
- 习题
- 附录A Dedekind 环汇编
- A.1 Dedekind 环的定义
- A.2 分式理想
- 附录 B Galoi理论
- B.1 Galoi理论
- B.2 正规扩张与可分扩张
- B.3 范与迹
- B.4 有限域
- B.5 无限Galoi理论
- 附录 C 素数的威力
- C.1 Hensel 引理
- C.2 Hasse 原理
- 问题解答
- 习题解答
- 索引
