偏微分方程

本书共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauchy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。本书不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Ｈarｎack不等式等。本书的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open probleｍ）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。

本书可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。

目录
- 前辅文
- 第一章绪论
  - §1 常用符号
  - §2 基本概念
  - §3 一些例子
  - §4 纵览
- 第二章一阶方程
  - §1 一个简单线性方程
    - §1.1 解析求解：特征线方法
    - §1.2 近似求解：有限差分方法
  - §2 一类简单拟线性方程
    - §2.1 Burgers方程
    - §2.2 一般情形
    - §2.3 导数的突变和破裂时间
  - §3 拟线性方程的几何理论
  - §4 拟线性方程的Cauchy问题
    - §4.1 Cauchy问题
    - §4.2 局部解的存在性
    - §4.3 解的存在唯一性条件
    - §4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程
    - §4.5 高维情形
    - §4.6 例子
  - §5 一阶偏微分方程组
    - §5.1 一阶线性偏微分方程组
    - §5.2 一阶拟线性偏微分方程组
  - §6 总结与思考
- 第三章具有两个自变量的二阶偏微分方程
  - §1 拟线性二阶方程的特征
  - §2 奇性的传播
  - §3 二阶线性方程的标准形
  - §4 一维波动方程
  - §5 总结与思考
- 第四章波动方程
  - §1 一维波动方程：方程的导出及定解条件
    - §1.1 方程的导出
    - §2.1 定解条件
  - §2 一维波动方程：Cauchy问题
    - §2.1 叠加原理
    - §2.2 齐次化原理
  - §3 一维波动方程：初边值问题
    - §3.1 分离变量法
    - §3.2 非齐次方程
    - §3.3 非齐次边界条件
  - §4 高维波动方程的Cauchy问题
    - §4.1 高维空间中的波动方程
    - §4.2 定解条件
    - §4.3 球平均法
    - §4.4 Hadamard降维法
    - §4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解
  - §5 波的传播
    - §5.1 基本概念
    - §5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象
    - §5.3 解的衰减
    - §5.4 解的正则性
  - §6 一般的Cauchy问题与初边值问题
    - §6.1 一般的Cauchy问题
    - §6.2 初边值问题
  - §7 能量不等式
    - §7.1 动能和位能
    - §7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性
    - §7.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性
  - §8 总结与思考
- 第五章热传导方程
  - §1 热传导方程的导出及其定解条件
    - §1.1 方程的导出
    - §1.2 定解条件
  - §2 Cauchy问题
    - §2.1 Fourier变换
    - §2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法
    - §2.3 解的存在性
  - §3 初边值问题
  - §4 极值原理
    - §4.1 极值原理
    - §4.2 初边值问题
    - §4.3 Cauchy问题
  - §5 Li-Yau估计与Harnack不等式
  - §6 渐近性态
    - §6.1 初边值问题
    - §6.2 Cauchy 问题
  - §7 总结与思考
- 第六章 Laplace方程
  - §1 方程的导出及定解条件的提法
    - §1.1 方程的导出
    - §1.2 定解条件
  - §2 变分法
    - §2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程
    - §2.2 变分原理
    - §2.3 变分问题与定解问题的求解
  - §3 调和函数
    - §3.1 Green公式
    - §3.2 基本积分公式
    - §3.3 基本性质
    - §3.4 极值原理
    - §3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性
  - §4 Green函数
    - §4.1 引进Green函数的动机及其基本性质
    - §4.2 镜像法
    - §4.3 解的验证
  - §5 调和函数（续）
  - §6 强极值原理
    - §6.1 强极值原理
    - §6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性
  - §7 总结与思考
- 第七章拟线性双曲守恒律方程组初步
  - §1 拟线性双曲守恒律方程组
    - §1.1 基本概念
    - §1.2 例子
    - §1.3 解的破裂
  - §2 间断解
    - §2.1 解的定义
    - §2.2 Rankine-Hugoniot条件
    - §2.3 熵条件
    - §2.4 Riemann问题
  - §3 非线性波：经典解情形
    - §3.1 疏散波与压缩波
    - §3.2 应用实例——追赶问题
  - §4 非线性波：间断解情形
    - §4.1 单个守恒律
    - §4.2 激波的形成与传播
    - §4.3 Riemann问题（续）
  - §5 总结与思考
- 第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理
  - §1 准备知识
    - §1.1 多重无穷级数
    - §1.2 实解析函数
    - §1.3 实解析函数（续）
  - §2 Cauchy-Kovalevskaya定理
    - §2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理
    - §2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明
  - §3 一些注记
- 附录一 Fourier反演公式
- 附录二 Li-Yau估计
- 参考文献

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