本书介绍数学物理典型方程的物理背景、主要解法及有关适定性的基本结论，阐述能量积分、积分变换、最大模估计、变分法与广义解等重要概念。
全书的论证严谨、计算完整，力求简明易读。读者具有数学分析、常微分方程知识就可学习本书。略去选讲的材料，57课时可以基本讲完全书。
本书可用作高等学校数学类专业的教材，也可用作自学读本。
- 第一章 方程的导出、分类与化简
- §1.1 波动方程的导出及其定解问题
- 1.1.1 弦振动方程及其定解问题
- 1.1.2 膜振动方程及其定解问题
- §1.2 热传导方程的导出及其定解问题
- §1.3 位势方程及其定解问题
- §1.4 定解问题的适定性
- §1.5 二元二阶线性方程的分类与化简
- §1.6 多元二阶线性方程的分类与化简
- 习题
- 第二章 波动方程
- §2.1 一维波动方程的达朗贝尔解法
- 2.1.1 无界弦的自由振动方程
- 2.1.2 半无界弦的自由振动方程
- 2.1.3 弦的强迫振动方程
- §2.2 解多维波动方程的球面平均法
- 2.2.1 多维波动方程的柯西问题
- 2.2.2 依赖区域、决定区域和影响区域
- §2.3 解波动方程混合问题的分离变量法
- 2.3.1 具狄利克雷边界条件的弦自由振动方程的混合问题
- 2.3.2 具诺伊曼与罗宾边界条件的弦自由振动方程的混合问题
- 2.3.3 非齐次问题的解法
- 2.3.4 高维波动方程的混合问题
- §2.4 分离变量法的理论基础
- §2.5 波动方程解的唯一性和稳定性
- 2.5.1 能量积分与混合问题解的唯一性和稳定性
- 2.5.2 柯西问题解的唯一性和稳定性
- 习题
- 第三章 热传导方程
- §3.1 傅里叶变换
- 3.1.1 傅里叶积分公式与傅里叶变换
- 3.1.2 傅里叶变换的性质
- 3.1.3 举例
- §3.2 热传导方程的柯西问题
- 3.2.1 泊松公式
- 3.2.2 热传导方程柯西问题解的存在性
- §3.3 热传导方程的混合问题
- §3.4 极值原理与定解问题的适定性
- 3.4.1 极值原理
- 3.4.2 第一边值问题解的最大模估计与适定性
- 3.4.3 第二、第三边值问题解的最大模估计与适定性
- 3.4.4 柯西问题解的适定性
- 习题
- 第四章 位势方程
- §4.1 极值原理与最大模估计
- 4.1.1 极值原理及其推论
- 4.1.2 定解问题解的最大模估计与适定性
- 4.1.3 调和方程的外问题
- §4.2 调和方程的格林函数
- 4.2.1 调和方程的基本解
- 4.2.2 格林公式
- 4.2.3 格林函数
- 4.2.4 球上的格林函数与泊松公式
- 4.2.5 半空间上的格林函数与泊松公式
- §4.3 调和函数的性质
- §4.4 牛顿位势与泊松方程
- §4.5 佩龙方法
- 习题
- 第五章 一阶偏微分方程
- §5.1 一阶拟线性偏微分方程
- 5.1.1 特征方程组与特征线
- 5.1.2 一阶拟线性偏微分方程的柯西问题
- 5.1.3 举例
- §5.2 一阶完全非线性偏微分方程
- 5.2.1 特征方程组与特征带
- 5.2.2 一阶完全非线性偏微分方程的柯西问题
- §5.3 用包络生成解
- 习题
- 附录A 柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理
- §A.1 实解析函数
- §A.2 柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理
- 习题
- 附录B 变分原理与偏微分方程的广义解
- §B.1 变分原理
- §B.2 偏微分方程的广义解
- §B.3 变分直接方法大意
- 习题
- 参考文献
