本书用数学分析和实变函数知识来讲解典型的数学物理方程理论。选材少而精，在介绍经典理论的同时，融入了偏微分方程的现代理论。内容安排由浅入深，循序渐进。
全书共分为四章，重点论述偏微分方程中典型方程的求解方法、广义函数空间上的Fourier 变换方法和古典解性质，此外对于偏微分方程的弱解理论也给予了初步介绍。每章还配置了许多富有启发性的习题。
本书可作为高等学校数学类专业以及物理学、金融数学等相关学科的本科生教材或教学参考书，也可供在实际工作中需要利用偏微分方程基础知识的科研人员参考。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 经典解法
- 1 二阶线性偏微分方程及其定解问题
- 1.1 典型的二阶线性偏微分方程
- 1.2 定解问题
- 1.3 解的空间与定解问题的适定性
- 2 分离变量法
- 2.1 第一初边值问题
- 2.2 第二初边值问题
- 2.3 第三初边值问题
- 2.4 Poisson 方程的边值问题
- 3 行波法
- 3.1 齐次波动方程 Cauchy 问题
- 3.2 非齐次波动方程 Cauchy 问题
- 4 其他解法
- 习题
- 第二章 Fourier 变换方法与广义函数初步
- 1 基本空间
- 1.1 连续函数空间
- 1.2 E (R), D(R)和 Ú S(R)空间
- 2 速降函数空间上的 Fourier 变换方法
- 2.1S(R) 上Fourier变换的定义与性质
- 2.2 在速降函数空间中求解热传导方程
- 2.3 在缓增函数空间中求解热传导方程
- 3 L^p 空间与磨光算子
- 3.1 L^p 空间
- 3.2 磨光算子及其基本性质
- 3.3 L^p 函数的光滑逼近
- 3.4 变分学基本引理
- 4 广义函数
- 4.1 广义函数的定义
- 4.2 广义函数的判定
- 4.3 广义函数的运算
- 4.4 广义函数的极限
- 4.5 广义函数的磨光
- 4.6 局部可积函数的广义导数及其基本性质
- 4.7 广义函数的广义导数
- 5 广义函数空间上的 Fourier 变换方法
- 5.1S′(R) 上Fourier变换的定义与性质
- 5.2S′(R) 上的Fourier变换方法
- 6 S(RN) . S′(RN) 上的Fourier 变换
- 6.1 S(RN) 上 Fourier变换的定义与性质
- 6.2 S′(RN) 上 Fourier变换的定义与性质
- 6.3 求解高维偏微分方程定解问题的 Fourier 变换方法
- 习题
- 第三章 L^2 理论
- 1 H¨older空间和H^1 空间
- 1.1 H¨older空间
- 1.2 H^1 空间
- 1.3 一维 H^1 空间的性质
- 2 Poisson 方程的 L^2 理论
- 2.1 弱解的定义
- 2.2 与弱解相应的泛函的极值元
- 2.3 泛函极值元的存在性
- 2.4 弱解的存在唯一性
- 2.5 弱解的正则性
- 3 Laplace 方程的基本解和 Green 函数及其应用
- 3.1 Laplace 方程的基本解
- 3.2 Green 函数及其基本性质
- 3.3 Green 函数的存在性
- 3.4 Green 函数法
- 4 热传导方程的 L^2 理论和基本解理论
- 4.1 热传导方程的 L^2 理论
- 4.2 热传导方程的基本解
- 习题
- 第四章 古典解的性质
- 1 Poisson 方程
- 1.1 弱极值原理
- 1.2 强极值原理
- 1.3 能量估计
- 2 热传导方程
- 3 弦振动方程
- 3.1 有界区间上的初边值问题
- 3.2 实数轴上的初值问题
- 3.3 半实数轴上的初边值问题
- 习题
- 参考文献
