本书是国家精品资源共享课“偏微分方程”的配套教材，是作者基于多年讲授数学类专业“偏微分方程”课程的经验编写而成的。全书重点介绍了偏微分方程的基本理论和方法，共分八章：第一章介绍偏微分方程的基本概念和几个经典方程及定解问题的物理来源；第二章介绍二阶方程的特征理论及方程的分类；第三章介绍分离变量法；第四章介绍齐次化方法；第五、六、七章分别讨论双曲型、抛物型和椭圆型方程定解问题的求解方法、理论分析、适定性等，并利用所获得的解对物理现象及力学规律加以解释；第八章介绍Fourier变换及其应用。各章内容相对独立，自成体系，教学时可根据实际教学时数任选其中几章独立安排教学。
本书力求做到由浅入深，通俗易懂，便于教师教学和学生学习。可作为高等学校数学类专业本科生“偏微分方程”“数学物理方程”课程的教材或教学参考书，也可作为理工类本科生或研究生“数学物理方程”“数学物理方法”课程的教材或参考书。
- 前辅文
- 第一章 方程的导出及定解问题的提法
- §1 基本概念
- 1.1 偏微分方程的概念
- 1.2 偏微分方程的解
- 1.3 偏微分方程的阶
- 1.4 线性偏微分方程
- 1.5 非线性偏微分方程
- §2 几个经典方程
- 2.1 弦振动方程
- 2.2 热传导方程
- 2.3 Laplace 方程
- §3 定解问题
- 3.1 定解问题
- 3.2 三类典型的边值条件
- 3.3 适定性
- 第二章 二阶方程的特征理论与分类
- 第三章 分离变量法
- §1 分离变量法的求解方法
- 1.1 具有Dirichlet 边值条件的混合问题
- 1.2 具有Neumann 边值条件的混合问题
- §2 求解实例
- 第四章 齐次化方法
- §1 方程的齐次化方法: Duhamel 原理
- 1.1 常微分方程的Duhamel 原理
- 1.2 波动方程的Duhamel 原理
- 1.2.1 Cauchy 问题
- 1.2.2 混合问题
- 习题4–1
- §2 边值条件的齐次化方法
- 2.1 Dirichlet 边值条件的齐次化
- 2.2 Neumann 边值条件的齐次化
- §3 应用
- 第五章 双曲型方程
- §1 一维波动方程
- 1.1 齐次波动方程的Cauchy 问题和特征线法
- 1.2 d’Alembert 公式的物理意义
- 1.3 d’Alembert 公式的几何解释
- 1.4 依赖区间、决定区域和影响区域
- 1.5 半直线上齐次波动方程的混合问题
- 1.6 非齐次波动方程的Cauchy 问题
- §2 高维波动方程
- 2.1 三维齐次波动方程的Cauchy 问题和球面平均法
- 2.2 二维齐次波动方程的Cauchy 问题和降维法
- 2.3 依赖区域、决定区域和影响区域
- 2.4 波的传播速度
- 2.5 Poisson 公式的物理意义
- 2.6 非齐次波动方程的Cauchy 问题
- §3 能量积分、唯一性和稳定性
- 3.1 能量积分
- 3.2 混合问题解的唯一性
- 3.3 能量不等式
- 3.4 Cauchy 问题解的唯一性和稳定性
- 第六章 抛物型方程
- §1 热传导方程定解问题的求解
- 1.1 齐次方程的Cauchy 问题
- 1.2 非齐次方程的Cauchy 问题
- 1.3 半直线上热传导方程的混合问题
- §2 极值原理、最大模估计、唯一性和稳定性
- 2.1 弱极值原理
- 2.2 第一边值问题解的最大模估计、唯一性和稳定性
- 2.3 第二、三边值问题解的最大模估计
- 2.4 Cauchy 问题解的最大模估计
- 2.5 混合问题的能量估计
- 第七章 椭圆形方程
- §1 调和函数
- 1.1 Green 公式
- 1.2 调和函数与基本解
- 1.3 调和函数的基本性质
- §2 Green 函数
- 2.1 Green 函数的定义
- 2.2 Green 函数的几个重要性质
- §3 球与半空间上的Dirichlet 问题
- 3.1 球上的Dirichlet 问题
- 3.2 半空间上的Dirichlet 问题
- 3.3 Harnack 不等式及其应用
- §4 极值原理、唯一性和稳定性
- 4.1 极值原理
- 4.2 第一边值问题解的唯一性和稳定性
- 4.3 第二边值问题解的唯一性
- 第八章 Fourier 变换及其应用
- §1 Fourier 变换及其性质
- 1.1 一维空间的Fourier 变换
- 1.1.1 Fourier 变换及其逆变换
- 1.1.2 基本性质
- 1.2 高维空间的Fourier 变换
- 1.3 典型例题
- §2 Fourier 变换的应用
- 附录I 散度定理
- 附录II线性变换下的微分运算
- 附录III Gronwall 不等式
- 附录IV Riemann-Lebesgue 引理
- 参考文献
- 索引
偏微分方程简明教程数字课程与纸质教材一体化设计，紧密配合。数字课程涵盖常见问题解析、典型例题及每章小结等数字资源，丰富了知识的呈现形式，拓展了教材内容。在提升课程教学效果的同时，帮助学生打下扎实的数学基础、拓宽视野。
