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复变函数
本书是为高等院校本科生编写的复变函数教材，是作者多年教学实践的产物。主要内容有：全纯函数的概念和性质、积分理论（Cauchy-Goursat积分定理与应用）、级数理论（幂级数与Laurent级数）、拓扑理论（辐角原理与应用）、几何理论（共形映射与Riemann映射定理）以及调和函数。本书以笔记形式写成，按讲次编排章节，注重概念与定理的应用，并设置了与内容高度匹配的习题。本书取材精当，形式新颖，文字简洁流畅，致力于提升读者的阅读体验。
作者：
王晓光 编著
定价：
66.00 元
出版时间：
2025-08-08
ISBN：
978-7-04-065182-9
物料号：
65182-00
读者对象：
高等教育
重点项目：
基础学科系列“101计划”教材
版面字数：
490.00千字
开本：
16开
装帧形式：
平装
页数：
408
最新印次时间：
2025年11月
- 目录
- 前辅文
- 第一章 复数
- 1.1 复数域
- 1.2 复数的表示
- 1.3 两个不等式
- 1.4 Lagrange恒等式
- 1.5 习题
- 1.1 复数域
- 第二章 复数与几何
- 2.1 Fermat问题
- 2.2 Heron公式
- 2.3 Ptolemy-Euler定理
- 2.4 Napoleon定理
- 2.5 习题
- 2.1 Fermat问题
- 第三章 集合、函数、复球面
- 3.1 开集、闭集、紧集
- 3.2 集合的连通性
- 3.3 连续函数
- 3.4 复球面
- 3.5 球极投影
- 3.6 习题
- 3.1 开集、闭集、紧集
- 第四章 全纯函数
- 4.1 全纯函数
- 4.2 复偏导数
- 4.3 复偏导数与复可微
- 4.4 例子
- 4.5 习题
- 4.1 全纯函数
- 第五章 映射性质初步
- 5.1 映射性质
- 5.2 共形性质
- 5.3 指数函数
- 5.4 初等变换
- 5.5 习题
- 5.1 映射性质
- 第六章 复积分
- 6.1 复积分
- 6.2 复积分的性质
- 6.3 原函数
- 6.4 习题
- 6.1 复积分
- 第七章 Cauchy-Goursat积分定理
- 7.1 Cauchy定理
- 7.2 Goursat定理：严格性的典范
- 7.3 Cauchy-Goursat积分定理
- 7.4 多连通域的积分定理
- 7.5 习题
- 7.1 Cauchy定理
- 第八章 Cauchy积分公式
- 8.1 Cauchy积分公式
- 8.2 全纯函数的无穷次可微性
- 8.3 Morera定理与应用
- 8.4 重温复偏导数
- 8.5 习题
- 8.1 Cauchy积分公式
- 第九章 Cauchy积分公式的应用
- 9.1 Cauchy不等式
- 9.2 Liouville定理
- 9.3 代数学基本定理
- 9.4 Riemann可去奇点定理
- 9.5 最大模原理
- 9.6 习题
- 9.1 Cauchy不等式
- 第十章 函数列与级数
- 10.1 复级数
- 10.2 函数列的收敛性
- 10.3 函数项级数
- 10.4 幂级数
- 10.5 习题
- 10.1 复级数
- 第十一章 全纯函数的幂级数与零点
- 11.1 全纯函数的幂级数
- 11.2 级数形式的Cauchy不等式
- 11.3 零点与唯一性定理
- 11.4 当零点趋于界
- 11.5 幂级数的妙用
- 11.6 习题
- 11.1 全纯函数的幂级数
- 第十二章 幂级数的进一步性质
- 12.1 奇点的产生
- 12.2 奇点在哪儿
- 12.3 Abel定理
- 12.4 Tauber定理
- 12.5 习题
- 12.1 奇点的产生
- 第十三章 分式线性变换
- 13.1 分式线性变换
- 13.2 几何性质
- 13.3 交比
- 13.4 例题
- 13.5 习题
- 13.1 分式线性变换
- *第十四章 拾贝集
- 14.1 蝴蝶定理
- 14.2 Pappus定理
- 14.3 Desargues定理
- 14.4 台球运动
- 14.5 Urquhart定理
- 14.1 蝴蝶定理
- 第十五章 多值函数
- 15.1 曲线同伦
- 15.2 同伦与单连通域
- 15.3 对数函数
- 15.4 幂函数
- 15.5 习题
- 15.1 曲线同伦
- 第十六章 多值函数（续）
- 16.1 多值函数沿曲线的连续分支
- 16.2 多值函数的支点
- 16.3 多值函数与共形映射
- 16.4 多值函数的Riemann曲面
- 16.5 习题
- 16.1 多值函数沿曲线的连续分支
- 第十七章 绕数与拓扑学
- 17.1 绕数
- 17.2 Brouwer不动点定理
- 17.3 Borsuk定理
- 17.4 舌尖上的数学
- 17.4.1 火腿三明治定理
- 17.4.2 奶酪比萨定理
- 17.5 Poincaré定理
- 17.6 习题
- 17.1 绕数
- 第十八章 辐角原理
- 18.1 绕数的积分表示
- 18.2 极点与半纯函数
- 18.3 辐角原理
- 18.4 三个应用
- 18.5 习题
- 18.1 绕数的积分表示
- 第十九章 辐角原理的应用
- 19.1 Rouché定理
- 19.2 Hurwitz定理
- 19.3 局部映射性质
- 19.4 整体映射性质
- 19.5 微分中值性质
- 19.6 习题
- 19.1 Rouché定理
- 第二十章 Schwarz引理
- 20.1 Schwarz引理
- 20.2 Schwarz引理的三种观点
- 20.3 Schwarz引理的应用
- 20.4 Schwarz-Pick定理
- 20.5 边界Schwarz引理
- 20.6 习题
- 20.1 Schwarz引理
- 第二十一章 Laurent级数
- 21.1 Laurent分解
- 21.2 Laurent级数
- 21.3 系数估计
- 21.4 孤立奇点的分类
- 21.5 习题
- 21.1 Laurent分解
- 第二十二章 整函数与半纯函数
- 22.1 ∞作为孤立奇点
- 22.2 复球面上的半纯函数
- 22.3 多项式
- 22.4 习题
- 22.1 ∞作为孤立奇点
- 第二十三章 留数定理与积分计算
- 23.1 留数定理
- 23.2 ∫2π0Q（sinθ, cosθ）dθ型积分
- 23.3 ∫+∞-∞f（x）dx型积分
- 23.4 ∫+∞-∞eiαxf（x）dx型积分
- 23.5 习题
- 23.1 留数定理
- 第二十四章 留数定理的更多应用
- 24.1 ∫+∞0f（x）dx型积分
- 24.2 ∫ba（x-a）r（b-x）sf（x）dx型积分
- 24.3 级数求和
- 24.4 全变差问题
- 24.5 习题
- 24.1 ∫+∞0f（x）dx型积分
- 第二十五章 朝花夕拾
- 25.1 积分定理的一般形式
- 25.2 Laurent分解的一般形式
- 25.3 多连通域的积分定理
- 25.4 原函数的存在性
- 25.5 积分公式的一般形式
- 25.6 习题
- 25.1 积分定理的一般形式
- 第二十六章 调和函数（一）
- 26.1 调和函数
- 26.2 极值原理
- 26.3 唯一性定理
- 26.4 积分公式
- 26.5 Harnack不等式
- 26.6 习题
- 26.1 调和函数
- 第二十七章 调和函数（二）
- 27.1 Dirichlet问题的可解性
- 27.2 可去奇点定理
- 27.3 Harnack不等式与Schwarz引理
- 27.4 调和Liouville定理
- 27.5 调和多项式
- 27.6 习题
- 27.1 Dirichlet问题的可解性
- 第二十八章 调和函数（三）
- 28.1 平均值性质
- 28.2 Schwarz反射原理
- 28.3 环域之间的全纯映射
- 28.4 调和Schwarz引理
- 28.5 习题
- 28.1 平均值性质
- 第二十九章 正规族
- 29.1 Arzelà-Ascoli定理
- 29.2 Montel定理
- 29.3 两种收敛性
- 29.4 有界区域的全纯自映射
- 29.5 习题
- 29.1 Arzelà-Ascoli定理
- 第三十章 Riemann映射定理
- 30.1 Riemann映射定理
- 30.2 定理的证明
- 30.3 证明的注记
- 30.4 极值问题的一般形式
- 30.5 习题
- 30.1 Riemann映射定理
- 第三十一章 双曲几何
- 31.1 双曲度量
- 31.2 双曲距离与测地线
- 31.3 单连通域的双曲度量
- 31.4 测地三角形的面积
- 31.5 习题
- 31.1 双曲度量
- 第三十二章 球面几何
- 32.1 球面测地线
- 32.2 球面三角形的面积
- 32.3 正多面体的分类
- 32.4 Euler公式
- 32.5 习题
- 32.1 球面测地线
- 第三十三章 共形映射的进一步性质
- 33.1 Wolff引理
- 33.2 边界延拓定理
- 33.3 Schwarz-Christoffel公式
- 33.4 矩形区域与椭圆积分
- 33.5 习题
- 33.1 Wolff引理
- 第三十四章 解析延拓与应用
- 34.1 沿曲线的解析延拓
- 34.2 单值性定理
- 34.3 模函数
- 34.4 Picard小定理
- 34.5 习题
- 34.1 沿曲线的解析延拓
- 第三十五章 全纯映射的不动点
- 35.1 不动点的个数
- 35.2 不动点指标公式
- 35.3 Newton型有理函数
- 35.4 指数映射的不动点
- 35.1 不动点的个数
- 第三十六章 指定性质的全纯函数
- 36.1 无穷乘积
- 36.2 Blaschke乘积
- 36.3 Weierstrass乘积
- 36.4 Mittag-Leffler定理
- 36.5 插值定理
- 36.6 习题
- 36.1 无穷乘积
- 第三十七章 不等式的乐趣
- 37.1 面积定理
- 37.2 基本不等式
- 37.3 面积-直径不等式
- 37.4 导数-直径不等式
- 37.5 习题
- 37.1 面积定理
- 第三十八章 等周不等式
- 38.1 等周不等式
- 38.2 Ahlfors-Beurling不等式
- 38.3 Carleman不等式
- 38.4 妙例：四边形的面积
- 38.5 习题
- 38.1 等周不等式
- 参考文献
- 前辅文
