本书主要介绍采用泛函方法求解线性偏微分方程的基本理论和方法，内容包括广义函数、Sobolev空间、二阶线性偏微分方程、拟微分算子的基本理论和应用，可作为高等学校偏微分方程、动力系统、计算数学、控制论和泛函分析及相关理工科方向研究生的教材或教学参考书，也可作为数学、物理学、工程技术等领域青年教师或科研人员的参考书。
- 前辅文
- 第1章 广义函数
- 1.1 Lebesgue空间Lp
- 1.1.1 Lp空间的定义和基本性质
- 1.1.2 卷积
- 1.1.3 单位分解
- 习题1.1
- 1.2 基本空间
- 1.2.1 基本空间D(Ω)和E(Ω)
- 1.2.2 基本空间φ
- 1.2.3 稠密性和完备性
- 习题1.2
- 1.3 广义函数空间
- 1.3.1 广义函数的定义
- 1.3.2 广义函数的极限
- 1.3.3 广义函数的导数
- 1.3.4 广义函数的乘子与缓增广义函数
- 1.3.5 广义函数的支集与具紧支集的广义函数
- 习题1.3
- 1.4 广义函数的卷积
- 1.4.1 广义函数的自变量变换
- 1.4.2 函数和广义函数的卷积
- 1.4.3 两个广义函数的卷积
- 习题1.4
- 1.5 广义函数的Fourier变换
- 1.5.1 速降函数的Fourier变换
- 1.5.2 缓增广义函数的Fourier变换
- 1.5.3 具紧支集的广义函数的Fourier变换
- 1.5.4 L2Rn上的Fourier变换
- 习题1.5
- 1.6 常系数偏微分算子的基本解
- 1.6.1 基本解的存在性
- 1.6.2 几个典型的数学物理方程的基本解
- 习题1.6
- 第2章 Sobolev空间
- 2.1 整指数Sobolev空间
- 2.1.1 非负整指数Sobolev空间
- 2.1.2 负整指数Sobolev空间
- 2.1.3 Poincaré不等式与等价范数
- 2.1.4 可延拓的有界区域
- 习题2.1
- 2.2 实指数Sobolev空间
- 2.2.1 定义
- 2.2.2 对偶性
- 2.2.3 乘积运算
- 习题2.2
- 2.3 嵌入定理
- 第3章 二阶线性偏微分方程
- 3.1 二阶椭圆型方程的Dirichlet问题
- 3.1.1 Dirichlet问题的广义解的定义
- 3.1.2 Lax-Milgram定理
- 3.1.3 Gårding不等式
- 3.1.4 Dirichlet问题的可解性
- 3.1.5 特征值问题
- 3.1.6 广义解的正则性
- 习题3.1
- 3.2 算子半群理论
- 3.2.1 算子半群方法的基本思想
- 3.2.2 C0半群的定义
- 3.2.3 无穷小生成元
- 3.2.4 Hille-Yosida定理
- 3.2.5 发展方程的Cauchy问题
- 习题3.2
- 3.3 二阶抛物型方程的初边值问题
- 3.4 二阶双曲型方程的初边值问题
- 第4章 拟微分算子的基本理论
- 4.1 拟微分算子的定义
- 4.2 振荡积分与拟微分算子的基本性质
- 4.2.1 振荡积分
- 4.2.2 拟微分算子的基本性质
- 4.2.3 恰当支拟微分算子
- 习题4.2
- 4.3 拟微分算子的运算
- 4.3.1 象征的渐近展开
- 4.3.2 拟微分算子的复合
- 4.3.3 拟微分算子的代数
- 习题4.3
- 4.4 有界性定理与Gårding不等式
- 4.5 一类特殊的拟微分算子
- 第5章 拟微分算子的应用
- 5.1 拟基本解
- 5.1.1 拟基本解的定义
- 5.1.2 椭圆型拟微分算子的拟基本解
- 5.1.3 椭圆型拟微分算子的内正则性
- 习题5.1
- 5.2 强椭圆型方程的Dirichlet问题
- 5.2.1 强椭圆型偏微分算子的定义
- 5.2.2 强椭圆型方程的Dirichlet问题的可解性
- 5.2.3 广义解的正则性
- 习题5.2
- 5.3 严格双曲型方程的Cauchy问题
- 5.3.1 严格双曲型算子的定义
- 5.3.2 化为一阶方程组
- 5.3.3 能量不等式
- 5.3.4 Fichera定理
- 5.3.5 Cauchy问题的解的存在性、唯一性和正则性
- 习题5.3
- 参考文献
