本书是在初等概率论、测度论和泛函分析初步的基础上展开的。全书共分三大部分：一、高等概率的基本概念与工具，诸如随机元（含特例随机变量）及其分布，随机元的特征泛函，各种收敛性（含依概率收敛、概率为1地收敛、LP收敛、完全收敛、淡收敛、局部弱收敛及弱收敛等）；二、概率极限理论，包括大数定律，中心极限定理，重对数律，不变原理，无穷可分律的理论及其应用等；三、随机过程论，包括可数状态离散时间的马尔可夫链，可数状态连续时间的马尔可夫过程，随机环境中马尔可夫链，鞅论等。在每章的最后，附有习题与应用。
本书是研究生的教学用书，也可供概率论的理论研究工作者、概率论与数理统计的应用研究工作者参考。
- 前辅文
- 第一章 距离空间中的测度
- §1 单调类定理
- §2 测度的基本概念及性质
- §3 距离空间上的测度
- §4 N 维欧氏空间中的L-S 测度
- *§5 Hausdorff 测度
- §6 习题及应用
- 第二章 从实值随机变量到取值于Banach 空间的随机元
- §1 随机变量及其分布, 母函数
- §2 随机变量的独立性与测度的卷积
- §3 随机变量的矩
- §4 随机元及其数学期望
- §5 实值随机变量的条件期望
- *§6 随机元的条件期望
- §7 习题及应用
- 第三章 各种收敛性
- §1 概率收敛、概率为1 地收敛、Lp 收敛、几乎一致收敛和完全收敛
- §2 几个不等式
- §3 弱收敛
- §4 局部弱收敛与淡收敛
- §5 欧氏空间中的特殊场合
- §6 习题及应用
- 第四章 特征函数和特征泛函
- §1 随机变量的特征函数, 反演公式
- §2 连续性定理
- §3 特征函数的Taylor 展式
- *§4 Khinchin-Bochner 定理
- *§5 随机元的特征泛函
- §6 习题及应用
- 第五章大数定律、中心极限定理、重对数律
- §1 独立同分布随机变量列的大数定律
- §2 独立同分布随机变量列的中心极限定理
- §3 独立随机变量列的大数定律
- §4 独立随机变量列的中心极限定理
- §5 强大数定律和随机级数的收敛性
- *§6 重对数律
- §7 习题及应用
- 第六章 可数状态的Markov 链
- §1 随机过程的基本概念
- §2 Markov 性
- §3 Markov 链的特征数及其性质
- §4 状态的分类及判别准则
- §5 遍历性定理
- §6 习题及应用
- *第七章 可数状态的Markov 过程
- §1 转移矩阵的连续性及可微性
- §2 Q 过程的存在唯一性
- §3 转移矩阵之遍历性及遍历矩阵之性质
- §4 分枝过程与种群繁衍
- §5 生灭过程与随机服务
- §6 习题及应用
- *第八章 随机环境中的Markov 链
- §1 依时随机环境中的Markov 链的基本概念及存在性
- §2 依时随机环境中的Markov 链的特性函数及其性质
- §3 状态的分类
- §4 状态的周期及状态空间的分解
- §5 依时随机环境中的分枝链
- §6 依时且依空随机环境中的Markov 链简介
- §7 习题及应用
- 第九章 Brown 运动与多维正态分布
- §1 多维正态分布
- §2 Brown 运动及其简单性质
- §3 Brown 运动的轨道性质
- *§4 Wiener 空间及不变原理
- §5 习题及应用
- 第十章 Lévy 过程和无穷可分律
- §1 无穷可分性
- §2 Lévy 过程和Lévy — Khinchin 公式
- §3 无穷可分律族的封闭性与连续性
- §4 u.a.n. 体系的极限特征函数族
- §5 收敛到无穷可分律的充分必要条件
- §6 习题及应用
- 第十一章 鞅
- §1 鞅的基本概念及其不等式
- §2 鞅的收敛定理
- *§3 鞅的Doob 停时理论
- *§4 鞅变换
- §5 习题及应用
- 参考文献
- 索引
