本书根据作者多年来为各种不同程度的大学生和研究生讲课及讨论班上报告的内容整理而成。第一章对极限理论的发展作了历史的回顾。以下六章分别讨论函数、微分学、积分学、傅里叶分析、实分析与点集拓扑学基础以及微分流形理论。每一章都强调有关理论的基本问题、基本理论和基本方法的历史的背景，其与物理科学的内在联系，其现代的发展与陈述方式特别是它与其他数学分支的关系。同时对一些数学和物理学中重要的而学生常常不了解的问题作了阐述。因此，它涉及了除微积分以外的许多数学分支：主要有实和复分析、微分方程、泛函分析、变分法和拓扑学的某些部分。同样对经典物理学——牛顿力学和电磁学作了较深入的讨论。其目的则是引导学生去重新审视和整理自己已学过的数学知识，并为学习新的数学知识——例如数学物理做准备。
本书适合于已学过微积分的基本知识的大学生和研究生进一步自学更现代的数学之用，也可以作为讨论班的材料。本书还适合需要较多数学的各专业的人员以及高等学校教师参考之用。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 变量的数学——从直观与思辨到成熟的数学科学
- 第二章 函数
- §1 增长的数学模型：指数与对数
- §2 周期运动和三角函数
- §3 进入复域
- §4 “函数”概念够用了吗?
- 第三章 微分学
- §1 微分学的基本思想
- §2 什么是微分?
- §3 泰勒公式、莫尔斯引理、插值公式
- §4 解析函数与C∞函数
- §5 反函数定理和隐函数定理
- §6 变分法大意
- §7 不可求导的函数
- 第四章 积分学
- §1 这样评论黎曼公正吗?
- §2 勒贝格积分的初步介绍
- §3 勒贝格积分的初步介绍（续）
- §4 平方可积函数
- §5 高斯积分
- §6 分部积分法、广义函数、索伯列夫（Sobolev）空间
- §7 复积分
- 第五章 傅里叶级数与傅里叶积分
- §1 傅里叶级数——从什么是谱谈起
- §2 傅里叶变换
- §3 急减函数与缓增广义函数
- 第六章 再论微积分的基础
- §1 实数理论
- §2 度量空间和赋范线性空间
- §3 拓扑空间
- 附录 布劳威尔不动点定理的初等证明
- 第七章 微分流形上的微积分
- §1 向量和张量
- §2 微分流形
- §3 多重线性代数介绍
- §4 外微分形式
- §5 微分形式在流形上的积分
- §6 结束语——麦克斯韦方程组简介
