本书初版于1979年，再版于1988年，三版于2004年。此次修订保持了第三版“阐述细致，便于自学”的特点，同时增加了少量新内容，充实了例题，附上了名词索引，更加易教易学。
本书内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射、解析延拓和调和函数共九章。其中加上*号的内容，供学有余力的学生选学。
本书可作为高等师范院校数学系的教材，也可为其它理工院校、教育学院所选用。
- 前辅文
- 引言
- 第一章 复数与复变函数
- §1. 复数
- 1. 复数域 2. 复平面 3. 复数的模与辐角4. 复数的乘幂与方根 5. 共轭复数6. 复数在几何上的应用举例
- §2. 复平面上的点集
- 1. 平面点集的几个基本概念 2. 区域与若尔当(Jordan)曲线
- §3. 复变函数
- 1. 复变函数的概念 2. 复变函数的极限与连续性
- §4. 复球面与无穷远点
- 第一章习题
- 第二章 解析函数
- §1. 解析函数的概念与柯西黎曼方程
- 1. 复变函数的导数与微分 2. 解析函数及其简单性质 3. 柯西黎曼方程 4. 用z和z刻画复函数
- §2. 初等解析函数
- §3. 初等多值函数
- 1. 根式函数 2. 对数函数 3. 一般幂函数与一般指数函数 4. 具有多个有限支点的情形5. 反三角函数与反双曲函数
- 第二章习题
- 第三章 复变函数的积分
- §1. 复积分的概念及其简单性质
- 1. 复变函数积分的定义 2. 复变函数积分的计算问题. 复变函数积分的基本性质
- §2. 柯西积分定理
- 1. 柯西积分定理 2. 柯西积分定理的古尔萨证明3. 不定积分 4. 柯西积分定理的推广5. 柯西积分定理推广到复周线的情形
- §3. 柯西积分公式及其推论
- 1. 柯西积分公式 2. 解析函数的无穷可微性 3. 柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理4. 莫雷拉(Morera)定理 5. 柯西型积分
- §4. 解析函数与调和函数的关系
- §5. 平面向量场——解析函数的应用(一)
- 1. 流量与环量 2. 无源、漏的无旋流动 3. 复势)
- 第三章习题
- 第四章 解析函数的幂级数表示法
- §1. 复级数的基本性质
- 1. 复数项级数 2. 一致收敛的复函数项级数3. 解析函数项级数
- §2. 幂级数
- 1. 幂级数的敛散性 2. 收敛半径R的求法，柯西阿达马(CauchyHadamard)公式 3. 幂级数和的解析性
- §3. 解析函数的泰勒(Taylor)展式
- 1. 泰勒定理 2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况) 3. 一些初等函数的泰勒展式
- §4. 解析函数零点的孤立性及惟一性定理
- 1. 解析函数零点的孤立性 2. 惟一性定理3. 最大模原理
- 第四章习题
- 第五章 解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点
- §1. 解析函数的洛朗展式
- 1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展式3. 洛朗级数与泰勒级数的关系 4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式
- §2. 解析函数的孤立奇点
- 1. 孤立奇点的三种类型 2. 可去奇点3. 施瓦茨(Schwarz)引理 4. 极点 5. 本质奇点 6. 皮卡(Picard)定理
- §3. 解析函数在无穷远点的性质
- §4. 整函数与亚纯函数的概念
- §5. 平面向量场——解析函数的应用(二)
- 1. 奇点的流体力学意义 2. 在电场中的应用举例
- 第五章习题
- 第六章 留数理论及其应用
- §1. 留数
- 1. 留数的定义及留数定理 2. 留数的求法3. 函数在无穷远点的留数
- §2. 用留数定理计算实积分
- 1. 计算∫2π0Rcosθ，sinθ)dθ型积分2. 计算∫+∞-∞P(x)Q(x)dx型积分3. 计算∫+∞-∞P(x)Q(x)eimxdx型积分4. 计算积分路径上有奇点的积分 5. 杂例6. 应用多值函数的积分
- §3. 辐角原理及其应用
- 1. 对数留数 2. 辐角原理3. 鲁歇(Rouch)定理
- 第六章习题
- 第七章 共形映射
- §1. 解析变换的特性
- 1. 解析变换的保域性 2. 解析变换的保角性——导数的几何意义 3. 单叶解析变换的共形性
- §2. 分式线性变换
- 1. 分式线性变换及其分解 2. 分式线性变换的共形性 3. 分式线性变换的保交比性4. 分式线性变换的保圆周(圆)性 5. 分式线性变换的保对称点性 6. 分式线性变换的应用
- §3. 某些初等函数所构成的共形映射
- 1. 幂函数与根式函数 2. 指数函数与对数函数3. 由圆弧构成的两角形区域的共形映射 4. 机翼剖面函数及其反函数所构成的共形映射 5. 茹科夫斯基函数的单叶性区域
- §4. 关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理
- 第七章习题
- 第八章 解析延拓
- §1. 解析延拓的概念与幂级数延拓
- §2. 透弧解析延拓、对称原理
- §3. 完全解析函数及黎曼面的概念
- 1. 完全解析函数 2. 单值性定理3. 黎曼面概念
- §4. 多角形区域的共形映射
- 1. 克里斯托费尔(Christoffel)施瓦茨变换2. 退化情形 3. 广义多角形举例
- 第八章习题
- 第九章 调和函数
- §1. 平均值定理与极值原理
- §2. 泊松积分公式与狄利克雷问题
- 1. 泊松积分公式 2. 狄利克雷问题 3. 单位圆内狄利克雷问题的解 4. 上半平面内狄利克雷问题的解
- 第九章习题
- 部分习题参考答案
- 名词索引
